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DM calcul d'aires second degré

Posté par
malia
20-04-12 à 13:54

Bonjour,

J'ai un DM à faire que je ne comprend absolument pas donc j'espère que quelqu'un pourra m'aider. Voici l'énoncé:

f et g sont les fonctions définies sur R par:
f(x)= x² - 2ax +1  et g(x)= 2b(a-x) où a et b sont des nombres réels.

Dans un repère orthonormé, on note D l'ensemble des points M(a;b) pour lesquels les courbes représentatives des fonctions f et g ne se coupent pas. Calculer l'aire D.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 20-04-12 à 14:33

Cherche à déterminer les points d'intersection des deux courbes, puis la condition sur  a  et  b  pour qu'il n'y ait pas de points d'intersection.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 20-04-12 à 16:11

Merci pour votre réponse mais le problème c'est que je ne sais pas comment trouver les points d'intersection et les conditions pour qu'il y en ait pas...

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 20-04-12 à 16:17

Les points d'intersection ayant évidemment la même ordonnée sur une courbe et sur l'autre, leurs abscisses sont solutions de l'équation  f(x) = g(x).
Explicite cette équation et détermine la condition pour qu'elle n'ait pas de solution.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 20-04-12 à 18:08

Je suis désolée mais je comprend vraiment pas, je suis incapable d'expliquer cette équation !

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 20-04-12 à 22:31

L'équation d'une courbe  y = f(x) définit la condition que doivent satisfaire les coordonnées (x; y)d'un point pour qu'il appartienne à la courbe.
Si par exemple pour  x = 2 on obtient  y = f(2) = 3, le point (2; 3) appartient à la courbe représentative de la fonction f(x). Par contre, le point de coordonnées (2; 1), par exemple, n'appartient pas à la courbe. A chaque valeur de  x  correspond une valeur de  y  par la fonction f(x).
De même pour une autre courbe définie par une fonction g(x).
En un point d'intersection des deux courbes, d'abscisse  a , les deux fonctions fournissent, pour cette valeur  a , une même valeur  b  de  y : c'est l'ordonnée du point d'intersection. On a donc  f(a) = g(a) = b .
C'est pourquoi l'équation  f(x) = g(x) a pour solutions les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 09:44

Ok je comprend un peu mieux cette démarche mais en quoi elle va me permettre de calculer l'aire de D ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 10:10

La condition que doivent respecter  a  et  b  se traduira par une relation entre ces deux grandeurs constituant l'équation du contour du domaine D. Tu comprendras quand tu auras fait le calcul.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 13:24

Alors j'ai essayé de résoudre l'équation f(x)=g(x) qui revient donc à x²-2ax+1 = 2b(a-x).
Je trouve (x-a)²-a+1 = 2ba - 2bx  je suis vraiment pas sûr de mon résultat.

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 13:54

Regroupe tous les termes à gauche, ordonne-les suivant les puissances de  x  et écris la condition pour que l'équation n'ait pas de solution.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 15:15

(x-a)²-2ba+2bx-a+1=0 c'est ça ? et la condition pour que l'équation n'ait pas de solution c'est ce résultat non ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 15:22

Il reste à développer le carré, puis à regrouper et à ordonner les puissance de  x  afin de mettre l'expression sous la forme  mx² + px + q .

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 17:15

si je développe le carré ça me donne x²-2ax+a²-2ba+2bx-a+1 et si après j'ordonne ça donne x²+a²-2ax-2ba+bx-a+1 mais à partir de là je suis bloquée pour mettre sous la forme mx²+ px + q

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 17:18

Réunis les termes en  x  et place-les immédiatement après le terme en x² . Puis calcule le discriminant du trinôme.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 20:00

Si je fais ça, ça donne x²-2ax+2bx alors comment je calcule le discriminant parce que à quoi corresponde -2ax et 2bx dans le trinôme et qu'est ce que je fais de a², -2ba, -a et 1 ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 21-04-12 à 22:22

Non, écris tous les termes, y compris les termes constants.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 10:32

D'accord donc cette fois-ci ça donnerait x²-2ax+2bx+a²-ba-a+1 ? Mais là encore je vois pas quels termes correspond à quelles lettres dans le formule du discriminant

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 12:59

Tu peux encore grouper les termes en  x  en un seul terme.
Tu noteras alors le coefficient de x², celui de  x  et le terme constant afin de calculer le discriminant.

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 13:43

Je m'aperçois que ton équation est inexacte.
Reprends l'équation que tu avais écrite à 13h24, 1ère ligne (celle de la 2ème ligne est fausse) et ordonne tout de suite ses termes suivant les puissances de  x .

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 13:49

Si je regroupe tout ça va faire : x²+2x(b-a)+(a²-ba-a+1)=0 et le discriminant est alors égal à
[2(b-a)]²-4*1(a²-ba-a+1)
= 4(b²-2ab+a²)-4a²+4ba+4a-4
=4b²-8ab+4a²-4a²+4ba+4a-4
=4b²-4ab+4a-4
=4(b²-ab+a-1)

Voilà j'espère y être enfin arrivé! Maintenant je comprend toujours pas pourquoi il fallait faire ça et je sais pas du tout où ça me mène

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 13:52

Mince! je viens seulement de voir que vous vous êtes aperçu de mon erreur ! J'imagine donc que mon dernier calcul est faux

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 18:19

En reprenant l'équation de départ et si je comprend bien ce que vous me dites je trouve x²-2ax+1-2b(a-x)=0 donc je ne développe pas ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 18:29

Tu développes les parenthèses, tu ordonnes les puissances de  x  et tu calcules le discriminant.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 18:38

D'accord donc cette fois-ci ça me donne
x²-2ax+1-2ba+bx
= x²+2x(b-a)-(2ba+1)

le discriminant est alors égal à:
[2(b-a)]²-4*1(-2ba+1)
= 4(b²-2ab+a²)+8ba-4
= 4b²-8ab+4a²+8ba-4
=4b²+4a²-4

Voilà j'espère que je n'ai pas fait d'erreur cette fois-ci

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 18:52

Pas d'erreur, c'est exact.
Maintenant, relis l'énoncé et mon premier message pour voir ce qu'il faut faire de ce discriminant.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 19:18

Je suis vraiment pas sûre de ce que je vais dire mais je pense que si le discriminant est négatif alors se sera la condition pour que les courbes ne se coupent pas et si il est positif les solutions permettront de trouver les point auxquels les courbes se coupent ?  

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 19:39

C'est bien cela. Selon les valeurs de  a  et  b, on se trouvera dans l'un ou l'autre des deux cas.  L'énoncé demande de s'intéresser au premier cas.
Détermine la ligne de démarcation entre les deux cas.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 20:31

Alors je sais pas trop à quoi correspond "la ligne de démarcation entre les 2 cas" mais j'ai calculé pour delta positif x1= -2x(b-a)+racine 4b²+4a²-4 /2 et j'arrive à x1= -x(b-a)+racine b²+a²-1 puis x2= -x(b-a)-racine b²+a²-1 est ce bien cela ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 22-04-12 à 22:41

Je ne comprends pas bien. La ligne de démarcation correspond à  Delta = 0 . Peux-tu dire quelle est sa nature ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 10:16

la nature de delta j'en ai aucune idée ... si ça nature c'est quelle calcul il faut faire pour obtenir delta=0 je sais simplement que c'est -b/2a

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 10:23

Ecris  Delta = 0  et explicite Delta. Que trouves-tu ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 11:41

Je trouve 4(b²+a²-1)=0

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 12:40

Tu peux simplifier par 4.
Maintenant, quel est le lieu du point M(a; b) dont les coordonnées vérifient cette équation ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 12:54

Donc je trouve a²+b²=1 ne serait-ce pas une équation de cercle ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 13:44

Mais oui !
Vois-tu où se situe l'ensemble D ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 14:08

L'ensemble D se situerait tout autour du cercle de rayon 1 ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 14:09

Pour quelle raison ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 17:16

Ben je sais pas ça me semblait logique ... C'est pas ça ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 19:39

Le cercle est la frontière entre deux zones : celle qui est à l'intérieur et celle qui est à l'extérieur.
Pour savoir quelle est la bonne pour répondre à la question de l'énoncé, prends un point quelconque à l'intérieur du cercle. Un point particulièrement commode est son centre. Pour ce point, quelle est la valeur de Delta ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 20:03

En prenant le centre comme point, je remplace a et b par 0 et je trouve delta = -1. Je voulais juste revenir un petit coup en arrière car je ne suis pas sûre d'avoir bien compris pourquoi après avoir calculer le discriminant on a fait delta= 0 ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 20:09

On cherche à distinguer les cas où Delta est positif et ceux où Delta est négatif.
La frontière correspond à Delta = 0.
En conclusion, comment se définit l'ensemble D ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 20:15

ce sont tous les points qui sont en dehors du cercle non ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 20:55

A quel signe de Delta s'intéresse-t-on selon l'énoncé pour définir l'ensemble D ?
Quel signe as-tu trouvé pour le centre du cercle ?

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 21:30

Pour le centre du cercle le signe était négatif mais là tout est embrouillé dans ma tête je comprend plus grand chose !!

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 23-04-12 à 22:04

Relis ton message de 19h18.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 24-04-12 à 10:18

D'accord. Donc si l'on reprend là où l'on était avec le centre du cercle, comme delta est négatif et bien les courbes ne se coupent pas. Mais qu'est ce que ça montre ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 24-04-12 à 10:25

Cela montre que la surface entourant le centre du cercle et limité par la circonférance de celui-ci définit l'ensemble D.
Pour tout couple (a; b) tel que le point M(a; b) soit situé à l'intérieur de ce cercle, les courbes représentatives des fonctions  f(x) = x² - 2ax + 1  et  g(x) = 2b(a - x)  ne se coupent pas.

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 24-04-12 à 10:28

Oui effectivement ça me parait plus clair cette fois-ci ! Ensuite pour calculer l'aire de D faut il calculer l'aire du cercle de rayon 1 ?

Posté par
Priam
re : DM calcul d'aires second degré 24-04-12 à 10:29

Oui. Ce n'est pas trop difficile !

Posté par
malia
re : DM calcul d'aires second degré 24-04-12 à 10:31

Non le calcul n'est pas compliqué mais on va se retrouver avec une valeur approchée

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