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DM calcul d'aires second degré
Bonjour,
J'ai un DM à faire que je ne comprend absolument pas donc j'espère que quelqu'un pourra m'aider. Voici l'énoncé:
f et g sont les fonctions définies sur R par:
f(x)= x² - 2ax +1 et g(x)= 2b(a-x) où a et b sont des nombres réels.
Dans un repère orthonormé, on note D l'ensemble des points M(a;b) pour lesquels les courbes représentatives des fonctions f et g ne se coupent pas. Calculer l'aire D.
Merci à tous ceux qui pourront m'aider.
Cherche à déterminer les points d'intersection des deux courbes, puis la condition sur a et b pour qu'il n'y ait pas de points d'intersection.
Merci pour votre réponse mais le problème c'est que je ne sais pas comment trouver les points d'intersection et les conditions pour qu'il y en ait pas...
Les points d'intersection ayant évidemment la même ordonnée sur une courbe et sur l'autre, leurs abscisses sont solutions de l'équation f(x) = g(x).
Explicite cette équation et détermine la condition pour qu'elle n'ait pas de solution.
L'équation d'une courbe y = f(x) définit la condition que doivent satisfaire les coordonnées (x; y)d'un point pour qu'il appartienne à la courbe.
Si par exemple pour x = 2 on obtient y = f(2) = 3, le point (2; 3) appartient à la courbe représentative de la fonction f(x). Par contre, le point de coordonnées (2; 1), par exemple, n'appartient pas à la courbe. A chaque valeur de x correspond une valeur de y par la fonction f(x).
De même pour une autre courbe définie par une fonction g(x).
En un point d'intersection des deux courbes, d'abscisse a , les deux fonctions fournissent, pour cette valeur a , une même valeur b de y : c'est l'ordonnée du point d'intersection. On a donc f(a) = g(a) = b .
C'est pourquoi l'équation f(x) = g(x) a pour solutions les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Ok je comprend un peu mieux cette démarche mais en quoi elle va me permettre de calculer l'aire de D ?
La condition que doivent respecter a et b se traduira par une relation entre ces deux grandeurs constituant l'équation du contour du domaine D. Tu comprendras quand tu auras fait le calcul.
Alors j'ai essayé de résoudre l'équation f(x)=g(x) qui revient donc à x²-2ax+1 = 2b(a-x).
Je trouve (x-a)²-a+1 = 2ba - 2bx je suis vraiment pas sûr de mon résultat.
Regroupe tous les termes à gauche, ordonne-les suivant les puissances de x et écris la condition pour que l'équation n'ait pas de solution.
(x-a)²-2ba+2bx-a+1=0 c'est ça ? et la condition pour que l'équation n'ait pas de solution c'est ce résultat non ?
Il reste à développer le carré, puis à regrouper et à ordonner les puissance de x afin de mettre l'expression sous la forme mx² + px + q .
si je développe le carré ça me donne x²-2ax+a²-2ba+2bx-a+1 et si après j'ordonne ça donne x²+a²-2ax-2ba+bx-a+1 mais à partir de là je suis bloquée pour mettre sous la forme mx²+ px + q
Réunis les termes en x et place-les immédiatement après le terme en x² . Puis calcule le discriminant du trinôme.
Si je fais ça, ça donne x²-2ax+2bx alors comment je calcule le discriminant parce que à quoi corresponde -2ax et 2bx dans le trinôme et qu'est ce que je fais de a², -2ba, -a et 1 ?
D'accord donc cette fois-ci ça donnerait x²-2ax+2bx+a²-ba-a+1 ? Mais là encore je vois pas quels termes correspond à quelles lettres dans le formule du discriminant
Tu peux encore grouper les termes en x en un seul terme.
Tu noteras alors le coefficient de x², celui de x et le terme constant afin de calculer le discriminant.
Je m'aperçois que ton équation est inexacte.
Reprends l'équation que tu avais écrite à 13h24, 1ère ligne (celle de la 2ème ligne est fausse) et ordonne tout de suite ses termes suivant les puissances de x .
Si je regroupe tout ça va faire : x²+2x(b-a)+(a²-ba-a+1)=0 et le discriminant est alors égal à
[2(b-a)]²-4*1(a²-ba-a+1)
= 4(b²-2ab+a²)-4a²+4ba+4a-4
=4b²-8ab+4a²-4a²+4ba+4a-4
=4b²-4ab+4a-4
=4(b²-ab+a-1)
Voilà j'espère y être enfin arrivé! Maintenant je comprend toujours pas pourquoi il fallait faire ça et je sais pas du tout où ça me mène
Mince! je viens seulement de voir que vous vous êtes aperçu de mon erreur ! J'imagine donc que mon dernier calcul est faux
En reprenant l'équation de départ et si je comprend bien ce que vous me dites je trouve x²-2ax+1-2b(a-x)=0 donc je ne développe pas ?
D'accord donc cette fois-ci ça me donne
x²-2ax+1-2ba+bx
= x²+2x(b-a)-(2ba+1)
le discriminant est alors égal à:
[2(b-a)]²-4*1(-2ba+1)
= 4(b²-2ab+a²)+8ba-4
= 4b²-8ab+4a²+8ba-4
=4b²+4a²-4
Voilà j'espère que je n'ai pas fait d'erreur cette fois-ci
Pas d'erreur, c'est exact.
Maintenant, relis l'énoncé et mon premier message pour voir ce qu'il faut faire de ce discriminant.
Je suis vraiment pas sûre de ce que je vais dire mais je pense que si le discriminant est négatif alors se sera la condition pour que les courbes ne se coupent pas et si il est positif les solutions permettront de trouver les point auxquels les courbes se coupent ?
C'est bien cela. Selon les valeurs de a et b, on se trouvera dans l'un ou l'autre des deux cas. L'énoncé demande de s'intéresser au premier cas.
Détermine la ligne de démarcation entre les deux cas.
Alors je sais pas trop à quoi correspond "la ligne de démarcation entre les 2 cas" mais j'ai calculé pour delta positif x1= -2x(b-a)+racine 4b²+4a²-4 /2 et j'arrive à x1= -x(b-a)+racine b²+a²-1 puis x2= -x(b-a)-racine b²+a²-1 est ce bien cela ?
Je ne comprends pas bien. La ligne de démarcation correspond à Delta = 0 . Peux-tu dire quelle est sa nature ?
la nature de delta j'en ai aucune idée ... si ça nature c'est quelle calcul il faut faire pour obtenir delta=0 je sais simplement que c'est -b/2a
Tu peux simplifier par 4.
Maintenant, quel est le lieu du point M(a; b) dont les coordonnées vérifient cette équation ?
Le cercle est la frontière entre deux zones : celle qui est à l'intérieur et celle qui est à l'extérieur.
Pour savoir quelle est la bonne pour répondre à la question de l'énoncé, prends un point quelconque à l'intérieur du cercle. Un point particulièrement commode est son centre. Pour ce point, quelle est la valeur de Delta ?
En prenant le centre comme point, je remplace a et b par 0 et je trouve delta = -1. Je voulais juste revenir un petit coup en arrière car je ne suis pas sûre d'avoir bien compris pourquoi après avoir calculer le discriminant on a fait delta= 0 ?
On cherche à distinguer les cas où Delta est positif et ceux où Delta est négatif.
La frontière correspond à Delta = 0.
En conclusion, comment se définit l'ensemble D ?
A quel signe de Delta s'intéresse-t-on selon l'énoncé pour définir l'ensemble D ?
Quel signe as-tu trouvé pour le centre du cercle ?
Pour le centre du cercle le signe était négatif mais là tout est embrouillé dans ma tête je comprend plus grand chose !!
D'accord. Donc si l'on reprend là où l'on était avec le centre du cercle, comme delta est négatif et bien les courbes ne se coupent pas. Mais qu'est ce que ça montre ?
Cela montre que la surface entourant le centre du cercle et limité par la circonférance de celui-ci définit l'ensemble D.
Pour tout couple (a; b) tel que le point M(a; b) soit situé à l'intérieur de ce cercle, les courbes représentatives des fonctions f(x) = x² - 2ax + 1 et g(x) = 2b(a - x) ne se coupent pas.
Oui effectivement ça me parait plus clair cette fois-ci ! Ensuite pour calculer l'aire de D faut il calculer l'aire du cercle de rayon 1 ?
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