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DM fonctions

Posté par
cameliolita
20-10-12 à 12:37

BONOUR

j'ai UN DM a rendre le lundi et j'ai vraiment besoin d'aide SVP

DONC voici l'enoncé :

On définit les fonctions f,g et h sur l'intervalle [0 ; 1 ] par :
f(x) =√(1+x), g(x) = 1+ (x/2) et h(x) = 1 + (x/2) - (x²/8)

1.a. Comparer (f(x))² et (g(x))²
voila ce que j'ai fais :

1.a. (f(x))² = √(1+x)² = (√1)² + (√x)² = 1+x et (g(x))² = (1+(x/2)² = 1² + 2*1*(x/2)+ (x²/4) = 1 + (2x/2) + (x²/4) = 1+x+(x²/4)

b.En déduire que pour, 0<x≤1, √(1+x) < 1+(x/2)
la je crois q'il faut etudier le signe de difference
g (x) - f(x) sup strictement a 0
    g(x) sup st a fx)
vous pouvez me dire  si c'est juste ou pas

2.a. Montrer que, pour 0≤x≤1, h(x) est positif.
b. Comparer (f(x))² et (h(x))² sur l'intervalle [0;1].
c. En déduire que, pour 0<x≤1 , 1+(x/2)-(x²/8) < √(1+x)

3. Décrire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f, g et h.

4. sans calculatrice , donner un encadrement de √1.000 002;
quelle est l'amplitude de cet encadrement ? ( l'amplitude de l'encadrement a < y < b est le reel positif b-a )
ET merci d'avance

Posté par
Groy
re : DM fonctions 20-10-12 à 13:02

Salut,

1.a Ta démonstration pour (f(x))2 n'est pas correct.
\sqrt{(a+xb)}  = \sqrt{a} + \sqrt{b}?

1.b En utilisant le résultat trouvé.
(f(x))^2 = 1 + x
(g(x))^2 = 1 + x + \frac{x^2}{4}
Pour tout x , on a:
1 + x 1 + x + x2/4
(f(x))2 (g(x))2
Alors pour tout x ]0;1].
On souhaite prendre leurs racines, nous sommes dans un intervalle pour des valeurs de x strictement positif, d'où pour : 0 < x 1 :
(f(x))2 (g(x))2
f(x) g(x)
\boxed{\sqrt{1+x} \le 1 + \frac{x}{2}}

2.a Que dois-tu prouvé pour que ta fonction h(x) soit positif?

2.b & 2.c Il faut appliqué la même démarche que dans la question .

Pour les dernières questions cela revient a conclure mais si tu trouves des difficultés n'hésite pas a demander.

Groy =)

Posté par
cameliolita
DM fonctions 20-10-12 à 14:03

BONJOUR ;

en fait je ne comprends pas votre raisonnement pour la 1) a)

2) a) je dois prouver que sur l'intervalle [0;1] que h(x)est strictement superieur a 0
Donc 1+(X/2)-(x²/8)superieur stricte a 0
on met le tout sur le meme denominateur 8
DONC CA donne -x²+4x+8/8
On remarque que - x²+4x+8 est une equation du second degrée
on obtient un delta positif /delta=48 ( 2 racines possibles)
le h(x) est strictement superieur a 0 car il le x est compris entre 2 racines
est ce que c'est juste ou pas SVP

Posté par
cameliolita
re : DM fonctions 20-10-12 à 20:03

BONSOIR
J'ai vraiment  besoin d'aide svp
quelqu'un peut me corriger ce que j'ai fais
merci

Posté par
Groy
re : DM fonctions 21-10-12 à 01:39

1.a Ce que je veux t'expliqué ta démonstration n'est pas correct pour la fonction (f(x))2.
(f(x))^2 = (\sqrt{(1+x)})^2 = \sqrt{(1+x)^2} la racine carrée et le carré s'annulent mutuellement d'où :
(f(x))^2 = 1+x

2.a Oui il faut étudié la fonction h(x), pour cela il faut suivre ses étapes :
1 - Dérivez et étudiez le signe de la fonction dérivée.
2 - Déduire la croissance et les points de où la fonction dérivée est nulle.
3 - Conclure sur la fonction initiale.

Je vais donné un exemple pour la fonction h(x).
1 - Pour tout x [0;1], la fonction h(x) est dérivable et continue sur l'intervalle étudié.
Soit : h'(x) = \frac{1}{2} - \frac{x}{4}
Pour tout x [0;1] la fonction h'(x) est strictement positif.
2 - Donc la fonction h(x) est strictement croissant, h(0) = 1 et h(1) = 1,375
3 - Et par conséquent pour tout x [0;1], la fonction h(x) est strictement croissant et positif.

Groy =)

Posté par
cameliolita
DM fonctions 21-10-12 à 11:10

BONJOUR ;
et  merci  pour votre reponse

le probleme c'est que on a pas encore vu les derivés (je suis en classe de premiere s ) il n y'a pas une autre facon de faire cela ???

Posté par
Groy
re : DM fonctions 21-10-12 à 22:25

Ta méthode est juste mais il te manque des éléments pour finir ta démonstration.

Les 2 racines que tu obtiens en résolvant ta fonction h te donnent les points où la tangente à ta fonction est horizontale, c'est-à-dire que ta fonction change de comportement (croissant ou décroissant).

Il te faut donc déterminé tes 2 racines et vérifié qu'ils n'appartiennent pas à [0;1].
Cela revient a montré le point 1 et 2 de la méthode, c'est-à-dire que dans l'intervalle étudié ta fonction est soit strictement croissant ou décroissant, il te manque juste prouvé qu'il est positif.

De plus, h(0) = 1 > 0 et h(1) = 1,375 > 0. Le 3e point est démontré.

Donc ta fonction h est bien strictement positif sur [0;1] (n'oublie pas de définir ton domaine d'étude, c'est le plus important).

Groy =)

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