1/ Pour montrer que Vn < Un je te conseille d'utiliser le résonemment par récurrence (c'est dur d'y échapper avec les suites.
D'abord vérifier que cela est vrai au premier rang c'est à dire pour U₁ et V₁.
Ensuite on suppose que cela est vrai pour tout réel naturel n tel que Vn < Un, on veut montrer que cela est vrai au rang n+1.
Ici ce que tu peux faire c'est U_n+1 - V_n+1 et montrer que c'est positif. Si tu fais comme ça il faut penser à ceci :
(Un - Vn)² = Un + Vn - 2(Un.Vn)
Un carré est toujours positif est 2 l'est aussi donc :
(Un - Vn)² / 2 > 0
U_n+1 - V_n+1 > 0
Et tu conlues sur ton raisonement.

Pour montrer que (x-y)² x² - y² Je ferais comme avant je montrerais que (x-y)² - (x² - y²) est négatif (ou l'inverse x² - y² - (x-y)² positif) :
x² - 2xy + y² - x² + y² = 2y² - 2xy = 2y(y-x)
Or 0 y smb]infegal[/smb] x, donc :
x-y 0
Et 2y 0
Donc :
2y(y-x) smb]infegal[/smb] 0 .
On en déduis que (x-y)² x² - y².

Maintenant quel va être ton x et ton y, si tu développes U_n+1 - V_n+1, tu trouveras quelque chose   comme cela :
U_n+1 - V_n+1 = (Un - Vn)² / 2
Bon ben là sachant que 0 < Vn < Un c'est bon.

Je réfléchis au reste, déjà là c'est un bon début.

Merci c'est super sympa!!!

Quelqu'un pourait m'aider pour montrer que pour n1, Un-Vn(U1-V1)/2^n-1

svp c'est vraiment urgent!!!

up

svp

Pour montrer que pour n1, Un-Vn (U₁-V₁) / 2^n-1, je vois ici aussi un résonnement par récurrence, y a pas beaucoup d'autres moyens. Tu montres que c'est vrai au rang n = 1, puis ensuite tu supposes qu'il existe un réel n tel que Un-Vn (U1-V1) / 2^n-1, tu veux montrer au rang n+1, c'est à dire que tu veux montrer que :
U_n+1 - V_n+1 (U₁ - V₁) / 2ⁿ, avec la relation précédente cela est très facile à montrer.

2/ Les conditions pour que 2 suites soient adjacentes :
-une suite croissante et une suite décroissante
-la limite de la différence des 2 suites est = 0 en +.

Pour savoir si une suite est décroissante ou croissante, une méthode simple est par exemple pour Un :
U_n+1 - U_n, si le résultat est négatif alors la suite est décroissante, si c'est positif alors la suite est croissante.
Je te laisse chercher quelle suite est croissante et quelle suite est décroissante.
Note : souvient toi que Vn < Un, penser à factoriser V_n+1 - V_n par Vn, et que la fonction racine est croissante.

Maintenant la limite de Un - Vn quand n tend vers +, on sait que Vn < Un donc que Un - Vn > 0, on sait aussi que Un-Vn (U1-V1) / 2^n-1, on a là un encadrement de Un - Vn, et maintenant théorème des gendarmes. Normalement c'est bon dis le moi si tu as des problèmes encore.

Merci bcp ca m'a bcp aider