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Dm Proba (Tle)

Posté par
Louis48
27-11-15 à 18:45

Bonsoir tout le monde,

J'ai un devoir à faire en mathématiques pour la semaine prochaine et je ne comprends pas tout !

Pour carnaval, Jules prépare un bocal de friandises contenant 10 bonbons saveur fraise et 30 bonbons saveur caramel. Chaque fois qu'un enfant prend un bonbon du bocal, Jules rajoute un bonbon à la fraise.
A partir de combien de prélèvements la probabilité de tomber sur un bonbon à la fraise devient-elle supérieure à 0,3?

Je ne sais pas comment répondre à la question car on ne sait pas si l'enfant tire au début un bonbon caramel ou fraise, pareil pour le 2e tirage...

Merci d'avance pour votre aide (qui me sera très utile)!

Posté par
cocolaricotte
re : Dm Proba (Tle) 27-11-15 à 19:12

Bonjour,

Un idée , commence par faire un arbre en regardant par exemple ce sui ce passe pour 3 tirages.

Et la proba de tirer un bonbon à la fraise = 1 - proba de ne tirer que des caramels !  

Posté par
kenavo27
re : Dm Proba (Tle) 27-11-15 à 19:13

bonsoir,

Citation :
Je ne sais pas comment répondre à la question car on ne sait pas si l'enfant tire au début un bonbon caramel ou fraise, pareil pour le 2e tirage...


La proba de tirer un bonbon à la fraise , au premier tirage, est de 10/40 et la proba de tirer un caramel est de 30/40

2 ème tirage, si l'enfant a tiré un bonbon à la fraise, au premier tirage, la proba de tirer de nouveau un bonbon à la fraise est de 10/40 (pourquoi toujours 10 et 40? parce que " Jules rajoute un bonbon à la fraise"
et le nombre de bonbons est toujours de 40

si l'enfant a tiré , au premier tirage, un bonbon au caramel, la proba de tirer un bonbon à la fraise est de 11/40 ( et oui,Jules rajoute un bonbon à la fraise")
et la proba de tirer un caramel est de 29/40
A toi.




Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm Proba (Tle) 27-11-15 à 19:27

Bonjour il faut se placer au n ième tirage et dire que la probabilité de tirer de la fraise est pn
et de tirer du caramel qn = 1-pn
a noter qu'au début p0 = 10/40= 1/4 et que q0 = 3/4

je tire un bonbon pour passer à l'étape n+1
j'ai pn chances de tirer de la fraise et comme je remets à la place un autre bonbon à la fraise, ça ne va pas changer la probabilité
j'ai 1-pn chances de tirer du caramel, auquel cas je le remplace par de la fraise.
il y avait 40pn bonbons à la fraise, il y en aura donc 40pn+1
et la probabilité deviendra (40pn+1)/40 = pn + 1/40

donc en résumé j'ai pn chances que la probabilité reste pn et 1-pn chances qu'elle devienne pn + 1/40, imagine l'arbre,
donc pn+1 = pn²+(1-pn)(pn + 1/40)
pn+1=39pn/40+1/40 on tient notre formule de récurrence.

Reste à trouver pn en fonction de n, c'est une suite arithmético géométrique. je ne sais pas si tu as appris ça mais la résolution est classique.
Si tu ne sais pas, tu n'as pas besoin de forcement exprimer pn en fonction de n pour répondre à la question. on te demande n tel que pn > 0.3 on peut avec un algorithme ou une calculatrice calculer les pn avec la formule de récurrence et trouver le n qui fait depasser 0.3, ça se produit assez vite :
Dm Proba (Tle)

Posté par
kenavo27
re : Dm Proba (Tle) 27-11-15 à 19:39

et si tu n'as pas bien saisi la démonstration de glapion que je salue, vois ce qui se passe pour 3 tirages, comme le suggère  cocolaricotte

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm Proba (Tle) 27-11-15 à 23:22

oui, ma démonstration est peut-être un peu compliquée, tu peux simplement itérer l'arbre sur 2 ou 3 coups sans essayer de généraliser et regarder ce qu'il se passe comme cocolaricotte et kenavo27 (que je salue ) l'ont dit. Cela dit en Terminal S, on doit savoir tenir ce type de raisonnement général ou au moins le comprendre.

Posté par
cocolaricotte
re : Dm Proba (Tle) 27-11-15 à 23:25

Et depuis 18h45 ... du côté de Louis48 ... silence radio !

Posté par
flight
re : Dm Proba (Tle) 27-11-15 à 23:45

salut

pas mal le développement de glapion que je salut !

j'ai essayé de voir les choses de facon tres tres simple par le raisonnement suivant  

soit x le nbr de bonbons à la fraise tirés
soit y le nbr de bonbons au caramel tirés
x+y est le nbr total de tirages effectués  
coté fraise on a  comme bilan au bout de x+y tirages : 10 - x + x  + y   fraise
car si on a tiré x fraises on remet x fraise et si on a tiré y caramels alors on remet y fraises
du coté des caramels on a  30-y caramels  
pour avoir que la probabilité de tomber sur un bonbon à la fraise devient-elle supérieure à 0,3
on écrirai que  P = 10-x+x+y /(30 -y + 10 -x +x+y) = (10+y)/40 > 0,3
soit  y > 2  il faudra donc tirer au moins 3 caramels  pour voir apparaitre une proba > à 0,3 d'avoir une fraise en effet si y = 3   alors  P = (10+3)/40 = 13/40 = 0,325 .
par contre la question que je trouve un peu bizarre dans l'énoncé qui est de savoir à partir de combien de tirage on aurait une proba >0,3 d'avoir une fraise me parait ambiguë , le processus de tirage d'une fraise peut etre infini tand qu'il dure , donc pour avoir tiré 3 caramels cela pourrait se faire en 10 000 tirages ( pour le fun)  car on remet a chaque fois une fraise quand on en a pri une .
"CFFFF.........................................FFFFCFFFFFFFFFFFFFFC " ...

Posté par
LeDino
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 00:28

Citation :
... par contre la question que je trouve un peu bizarre dans l'énoncé qui est de savoir à partir de combien de tirages on aurait une proba >0,3 d'avoir une fraise me parait ambiguë...
Bonsoir flight.

La question demande réflexion. Mais elle n'a rien d'ambigu.

Tu te places au tirage  n,  et tu cherches p_n  la probabilité d'obtenir une fraise à ce tirage.
Tu vois bien que cette probabilité ne peut qu'augmenter à chaque tirage puisque le nombre de fraises peut soit rester le même, soit augmenter d'une unité.
On cherche simplement à partir de quel  n  la probabilité  p_n  dépasse 1/3.

Pour ce qui est de ta démonstration, je pense qu'elle est loin du compte.

Posté par
flight
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 11:13

Bonjour Ledino , je peux considérer en effet que la réponse attendue ne dois pas etre aussi "bâclée" que celle que j'ai proposée  ... mais alors si je me place à l'étape n comme tu le dis , comment puis je connaitre à ce moment l'etat de mon urne  pour pouvoir quantifier à l'étape n+1  :
P(Fn+1/Fn)   et P(Fn+1/Cn )   ?   .. à l'étape n , un certains nombre de caramel à pu être consommé
ou pas du tout entrainant une augmentation du nbr de fraises ou pas ( ca je l'ai bien compris) .

Posté par
LeDino
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 16:09

Bonjour flight,

Je n'ai pas cherché de solution au problème parce que je fais confiance à Glapion pour l'avoir résolu.

A mon sens, pour calculer Pn, on peut par exemple faire la somme des probabilités correspondant à chaque éventualité se terminant par F. Une éventualité étant une issue de  n  tirages. Par exemple :  la chaîne  CFFCCFFFCF  est une issue de n tirages.

Pour cela, l'arbre convient très bien pour visualiser la mécanique du problème. On développe toutes les chaînes possibles et on calcule leur probabilité. Puis on somme une ligne sur deux dans l'arbre (puisqu'une ligne sur deux se termine par un F).

Pour un élève de terminale je recommanderais cette approche (qui est celle proposée par cocolaricotte et de kenavo), pour les premiers rangs. Cela permet de comprendre et cela conduit au résultat avec un peu de soin.

Pour un élève dégourdi et volontaire, ou de classe supérieure, je recommanderais d'établir une récurrence, comme  Glapion  a cherché à le faire. Une récurrence peut alors se programmer facilement sur calculatrice ou sur tableur. Elle peut aussi se résoudre mathématiquement, mais avec de l'aide.

Mais comme pour comprendre et postuler la récurrence il faut commencer par se représenter l'arbre... on en revient à la première recommandation .

Si tu penses avoir "intuité" une bonne solution ; teste là sur l'arbre aux premiers rangs et tu seras fixé.

Posté par
Louis48
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 16:52

Merci à tous pour votre aide précieuse ! Lorsque je trouve la réponse, je la communique que vous me disiez si c'est juste ou non !

Posté par
Louis48
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:01

En fait je ne comprends pas pourquoi Glapion a écrit : qn = 1-pn.
Sachant que Qn est la proba de tirer un caramel et Pn celle de tirer la fraise.

Merci de bien vouloir m'expliquer !

Posté par
Yzz
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:04

Salut,

Ce sont deux événements contraires...

Posté par
Louis48
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:06

ah d'accord là j'ai compris !

Posté par
LeDino
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:12

Autrement dit, quand tu arrives au rang  n  (donc après  n  tirages), tu as deux possibilités au rang suivant :  
- soit tu tires une fraise, avec une probabilité Pn,
- soit tu tires un caramel avec une probabilité Qn.
Et évidemment  Pn + Qn = 1, puisque ces deux possibilités sont exclusives et couvrent tous les cas possibles (F et C sont "contraires, comme Yzz l'a indiqué).

Posté par
LeDino
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:13

Citation :
ah d'accord là j'ai compris !
Lol : j'arrive après la bataille .

Posté par
Yzz
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:15

Salut LeDino  

(Je me suis permis de répondre, car il me semble que tu étais déconnecté à ce moment là)

Posté par
cocolaricotte
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:17

En effet j'ai mal interprété la consigne en traduisant l'énoncé par : la proba de tirer un bonbon à la fraise = 1 - proba de ne tirer que des caramels !  

Je pense qu'il faut chercher la proba d'obtenir une fraise au bout de n tirages.

Fn = "on tire une fraise au tirage n" , P(Fn) =  pn

Cn= "on tire un caramel au tirage n" , P(Cn) = q[/sub]

Les évènements étant contraires l'un de l'autre p[sub]n
= 1 - qn

p1 = 10/40 = 0,25   et q1 = 0,75

p2 = (10/40) * (10/40) + (30/40)*(11/40) = 0,26875  et q2 = 0,73125

p3 = (10/40) * (10/40) * 10/40) + (10/40)*(30/40)*(11/40) + (30/40)*(11/40)*(11*40)

etc .....

Posté par
cocolaricotte
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:21

erreur de balises

Je pense qu'il faut chercher la proba d'obtenir une fraise au bout de n tirages.

Fn = "on tire une fraise au tirage n" , P(Fn) =  pn

Cn= "on tire un caramel au tirage n" , P(Cn) = qn

Les évènements étant contraires l'un de l'autre pn = 1 - qn

Posté par
cocolaricotte
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 17:29

Décidément j'ai les doigts qui ne font pas ce que mon cerveau voudrait

p3 = (10/40) * (10/40) * 10/40) + (10/40)*(30/40)*(11/40) + (30/40)*(11/40)*(11*40) + (30/40)*(29/40)*(12/40)

Posté par
LeDino
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 20:49

Voici à quoi ressemble l'arbre sur un tableur :

Dm Proba (Tle)

On y retrouve bien les résultats calculés par la récurrence de  Glapion ...

Posté par
cocolaricotte
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 21:17

Moi aussi je trouve la même chose que flight  aux rangs 1, 2 et 3 Mais je ne suis pas certaine que son raisonnement soit compréhensible par un élève de Ter S !    

Posté par
LeDino
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 21:52

Bonsoir cocolaricotte,

Je suppose que tu veux plutôt parler de Glapion.
Parce que flight n'a pour le moment pas proposé de solution viable.

Pour ce qui est de la solution de Glapion, je pense maintenant que c'est celle qui est attendue. Au minimum de trouver la récurrence, pour la programmer sur calculatrice. Parce que le calcul que j'ai fait pour n=1, 2 et 3... avec rigueur, sur tableur et une certaine expérience... je doute à présent qu'on puisse le demander en terminale sans pousser les élèves à la faute ou au débordement de capacité ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm Proba (Tle) 28-11-15 à 21:56

Vu que je vous sens motivés, pour info, si vous voulez réfléchir sur le problème général , j'ai posté ça dans la zone detente : Les Bonbons

Posté par
flight
re : Dm Proba (Tle) 01-12-15 à 18:01

....je suis motivé et je reviens avec une nouvelle approche conduisant au résultat attendu
toutefois je reprend mon idée de départ qui n'était pas tout à fait inutile en partie .

je maintiens qu'a l'étape n  du processus on ait pu consommé une quantité yn  de caramels donc à l'étape n , la composition de l'urne est   (10+yn) fraises et  (30-yn) caramels  , alors à l'étape n+1
j'ai en composition , soit  la même chose si j'ai pri une fraise à étape n c'est à dire (10+yn) fraises et  (30-yn) caramels , soit  (11+yn) fraises et  (29-yn) caramels si j'ai consommé un caramel à l'étape n .

de ce fait je peux ecrire  que P(Fn+1)= P(Fn+1/Fn).P(Fn) +  P(Fn+1/Cn).P(Cn)
soit P(Fn+1)  = (10+yn)/40*(10+yn)/40  +  (11+yn)./40*(30-yn)/40  =
                       (100 + 20yn + y²  + 330 -11yn +30yn -yn²)/40 =
                        (430+ 39yn) / 40²
donc deja  P(Fn+1) = (430+ 39yn) / 40²   à l'étape  n la proportion de fraises Fn = (10+yn)/40
alors  yn = 40.P(Fn) - 10 qu'il suffit de remplacer dans l'équation précédente
du coup  P(Fn+1) = (430+ 39*(40.P(Fn) - 10) ) / 40²  = 430/40² + 39.P(Fn)/40 - 390/40² soit
P(Fn+1) = (430-390)/40²  + 39P(Fn)/40  = 40/40²  + 39.P(Fn)/40

donc  P(Fn+1) = 1/40  + 39.P(Fn)/40   ... voila  !    
                

Posté par
Louis48
re : Dm Proba (Tle) 02-12-15 à 20:56

Merci infiniment à tous pour vos réponses et vos approches différentes de la question !

Posté par
Louis48
re : Dm Proba (Tle) 02-12-15 à 21:30

En fait je viens de me rendre compte que je ne comprends pas pourquoi on met :

p(n+1)=pn²+(1-pn)(pn + 1/40) ?? Merci d'avance pour la réponse.

Posté par
flight
re : Dm Proba (Tle) 12-12-15 à 13:23

re... relis mon dernier post j'ai donné de nombreux details de calcul



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