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DM repère orthonormé

Posté par
Clairsey
23-10-16 à 23:27

bonjour à tous, voici mon problème :
Soit ABCD un carré direct. On se place dans le repère orthonormé (A ; vecteur AB; vecteur AC)
M est un point de coordonnées (α  ;  β ) et N, P et Q des points tel que MNPQ soit un carré direct dont les côtés sont parallèles à ceux de ABCD. On note k= MN avec k réel dans [0 ; 1 [ ; k est donc le rapport de réduction du carré ABCD au carré MNPQ.
On suppose que les droites (AM) , (BN), (PC) et (DQ) sont parfaitement déterminées (ce qui revient à dire que A et M sont distincts, que B et N sont distincts, ... etc)
En effet, remarquer que pour α=β=0.5, la droite (PC) est indéterminée.

1) Etudier le cas particulier où k = 0 : fait
2) Démontrer que les droites (AM) (BN) (PC) et (DQ) sont concourantes pour n'importe quelle valeur de alpha, bêta et k : j'ai seulement les coordonnées des points :
N (k +  α ; β)
P (k + α ; k +  β)
Q ( α ; k +  β)

Je n'arrive pas à trouver la méthode pour cette question 2 ...

3) Que se passe t-il pour k=1 ?

Merci d'avance à celui ou celle qui voudra m'aider.

Posté par
sanantonio312
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 08:47

Bonjour,
Le repère orthonormé est plutôt (A;\vec{AB};\vec{AD}). Non?
Et pour que (PC) soit indéterminée dans l'exemple choisi, il faut également k=0,5.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 08:56

Bonjour,
Pour le repère, ce ne serait pas plutôt (A ; vecteur AB; vecteur AD) ?
Sinon, avec des coordonnées, je trouve que c'est à priori horriblement compliqué...
Je propose une solution avec Thalès :
ABMN n'est pas un parallélogramme car AB MN.
Les droites (AM) et (BN) sont donc concourantes en un point I .
D'après Thalès, IM/IA = IN/IB = k .
De même les droites (BN) et (CP) sont concourantes en un point J avec JN/JB = k .
Les points I et J sont donc confondus.
Idem avec (DQ).

As-tu entendu parler d'homothétie ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 08:58

Bonjour sanantonio312
Si tu vois une réponse pas trop compliquée avec de l'analytique, je te laisse continuer.

Posté par
sanantonio312
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 09:09

Ensuite, je ne vois qu'une solution: écrire les équations des 4 droites dont on connait les coordonnées de 2 points.
(AM): y=\frac{\beta }{\alpha }x est la plus facile
Ensuite, tu cherches le point d'intersection de chacune des 3 autres avec (AM) et tu constates que c'est le même...

Posté par
sanantonio312
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 09:12

Bonjour Sylvieg
Ta méthode me parait beaucoup plus élégante.
Mais bon je sais bien que je suis un peu bourrin!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 09:18

Non, car visiblement l'énoncé appelle une solution analytique en donnant un repère et des coordonnées.
Le problème avec l'analytique, c'est par exemple que peut être nul...

L'unicité de I avec IN/IB = k n'est pas évidente non plus.

Posté par
Clairsey
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 10:06

Bonjour à tous et merci de me répondre
En effet, j'ai fait plusieurs erreurs: le remère est (A ; AB ; AD) et c'est alpha = bêta = k = 0.5
De plus oui, ils attendent une réponse anlytique... J'ai deux autres parties où j'ai en effet pris (AM) et ensuite chercher un point d'intersection avec chacune des trois autres droites.
Mais ici, dois-je mettre chacune des équations sous forme cartésienne ? Si oui, comment trouver c pour qu'il n'annule pas les autres membres de l'équation ?
De plus, je me demandais s'il n'y avait pas un autre moyen pour démontrer que les droites sont
concourantes, sans forcément trouver des coordonnées pour prouver.
Encore merci

Posté par
sanantonio312
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 10:41

L'autre méthode, c'est celle de Sylvieg.
Avec les équations de droite, faut taper dans l'dur!
C'est quoi "c qui ne doit pas annuler d'autres membres de l'équation"?

Posté par
Clairsey
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 10:52

Oui c'est dans le dur mais je ne connais pas encore d'homothétie
Pour trouver le dernier membre c  d'une équation cartésienne, il faut connaitre les deux autres membres: ax et by, là je les connais, ducoup l'idée serait de trouver c, mais comment ?

Posté par
sanantonio312
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 11:05

Comment connais tu ax et by?
Si tu les connais, utilise le fait que la droite passe par un des deux points pour déterminer c.
Je suppose que tu parles de l'équation sous la forme ax+by+c=0...

Posté par
Clairsey
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 11:16

D'accord, je connais grace au vecteur de la droite qui donne -b et a , ducoup je les assemble à x et y et j'ai une équation ou il manque c
Quand je prends les coordonnées d'un point sur la droite, ca ne marche pas car j'ai que des inconnues je n'y arrive pas

Posté par
sanantonio312
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 12:41

Fais le avec un exemple.
Il reste 3 équations de droite à trouver.
Montre moi ce que tu trouves et surtout comment.

Posté par
Clairsey
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 12:51

Par exemple BN :
Vecteur BN (k + α - 1 = -b ; β = a )
Donc l'équation donne :
  βx + (-k-α +1)y + c = 0
C'est là que je suis bloquée

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 14:10

La droite (BN) passe par B(0,1) ; permet de trouver c .
Ou d'écrire directement : β(x-0) + (-k-α +1)(y-1) = 0

Posté par
Clairsey
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 14:15

Solvieg, pourquoi x-0 et y-1 ?
  βx + (-k-α +1)y + c = 0  
Cette équation de sufit pas ?

Posté par
sanantonio312
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 15:16

Citation :
pourquoi x-0 et y-1 ?

Ce sont les coordonnées de B

Posté par
Clairsey
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 15:21

D'accord donc vous appelez celles de N avec x et y, ok

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 17:43

Je me suis trompée sur les coordonnées de B
B(1,0)
Je détaille deux méthodes pour trouver une équation de (BN).

A partir de βx + (-k-α +1)y + c = 0 on peut trouver c en écrivant que les coordonnées (1,0) de B vérifient l'équation : β1 + (-k-α +1)0 + c = 0 ; donc c= - β . D'où une équation de (BN) : βx + (-k-α +1)y - β = 0

Ou en écrivant qu'un point m(x,y) est sur la droite (BN) si et seulement si les vecteurs Bm et BN sont colinéaires. Avec Bm(x-1 , y) et BN(α+k-1 , β), on trouve comme équation de (BN) : β(x-1) - y(α+k-1) = 0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 17:44

Les coordonnées de N sont α+k et β .

Posté par
Clairsey
re : DM repère orthonormé 24-10-16 à 17:50

D'accord Sylvieg merci, je ne comprenais pas au début..
Et je fais ca pour chaque droite pour trouver ensuite les points d'intersection avec (AM)
Ok je vais y arriver



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