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Dm suites à récurrence et somme de termes...

Posté par
damouf
16-09-09 à 22:25



Bonsoir tout le monde!
Voila, après y avoir passée toute cette après-midi à chercher la solution, je me résigne à poster ici...

EXO 1:

On considère le suite (Un) définie par :
Uo = 3

U(n+1) = 2/(1+Un)

1) Démontrer que, pour tout n, on a 0Un3

aucune idée de comment faire???

2) On considère la suite Vn définie, pour tout n, par : Vn = (Un-1)/(Un+2)
Démontrer que Vn est géométrique.
Alors, j'ai bien essayé de trouver q via U(n+1)/Un, après avoir trouvé que U(n+1) = (1+Un)/(4+2Un), mais au final de ce quotient, je me retrouve avec ce résultat (Un²-1²)/(2Un²+4Un+12) et je sais pas du tout quoi en faire...

3) Exprimer Vn en fonction de n. En déduire la limite de la suite Vn

ça à mon avis il doit falloir que je trouve q auparavant et que je mette sous la forme Un= Up x q^{n-p} mais sans la question 2, cela me semble impossible.... quand à la limite je ne me souviens plus comment faire mais avec la forme Un= .... je dois pouvoir retrouver ça dans mes cours...

4)En déduire la limite de Un.
Je pense que j'ai besoin des questions précédentes pour ça...

EXO 2:

Soit n-(0)

On désigne par Sn la somme des cubes des n premiers entiers naturels impairs:
Sn= 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3

Par exemple, S_3=1^3+3^3+5^3=153
 \\
1) Démontrer par récurrence que pour tout n, Sn = 2n^4-n²

HOURRA, une question ou j'ai trouvé la réponse! (bon j'avoue, grâce à une vidéo sur dayli expliquant la méthode par récurrence... mais quand même x) )

2) Déterminer n tel que : 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3 = 913276

Et après en lisant cette question j'ai déchanté.... ^^ j'ai essayé en resolvant un peu au pif l'équation 2^4-n² = 913276, mais vous vous doutez que je n'ai rien trouvé de concluant....

Voila, merci de me laisser juste des pistes s'il-vous-plait, j'aimerais réfléchir un maximum par moi-même, ça me tient à coeur de comprendre ce dm( qui est déjà le deuxième de l'année grrrr) ^^

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 16-09-09 à 22:49

Bonsoir,

En principe, un exercie par topic; je réponds au premier:

1) Soit f la fonction définie par f(x)=\frac{2}{1+x} sur [0,3]

f'(x)=-\frac{2}{(1+x)^2}<0 et f est décroissante sur [0,3]

Ainsi 0\leq x\leq 3\Longrightarrow f(3)\leq f(x)\leq f(0)

soit 0\leq\frac{1}{2}\leq f(x)\leq 2\leq 3

Donc x\in [0,3]\Longrightarrow f(x)\in [0,3]

On est maintenant en mesure de faire une récurrence sur la propriété P_n:

Pour tout n\in\mathbb{N},\;\; u_n\in [0,3]

Initialisation:

0\leq u_0\leq 3 et P_0 est vraie.

Hérédité:

On suppose que P_n est vraie pour un certain rang n fixé.

donc u_n\in [0,3], et u_{n+1}=f(u_n)\in [0,3]

et l' hérédité est prouvée.

C' est un début...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 16-09-09 à 23:04

2) v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}=\frac{\frac{2}{1+u_n}-1}{\frac{2}{1+u_n}+2}

v_{n+1}=-\frac{u_n-1}{2u_n+4}=-\frac{1}{2}\,\frac{u_n-1}{u_n+2}

v_{n+1}=-\frac{1}{2}v_n

donc (v_n) est une suite géométrique de raison -\frac{1}{2} et de premier terme v_0=\frac{u_0-1}{u_0+2}=\frac{2}{5}

3) v_n=\frac{2}{5\times (-2)^n}=-\frac{1}{5\times (-2)^{n-1}} et \lim_{n\to +\infty}v_n=0

4) v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}

u_nv_n+2v_n=u_n-1

u_n(1-v_n)=1+2v_n

u_n=\frac{1+2v_n}{1-v_n} donc \lim_{n\to +\infty}u_n=1

Posté par
damouf
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 12:00

Bonjour, désolé de ma longue absence, mais j'étais très occupé avec mes autres devoirs...

j'ai plusieurs questions en ce qui concernent ta réponse(merci d'avoir tout résolu, je n'en demandais pas tant! ) :
-pour la question une, pas de problème, j'ai compris le raisonnement, si ce n'est que je me demande si on est obligé de poser U(n+1)= f(x),en effet on est en mesure de dire que comme cet encadrement est valable pour U(n+1), alors il est valable pour Un, étant donné que Un+1 est décroissante non?

-pour la question 2, j ne comprend pas tes calculs à partir de \frac{\frac{2}{1+Un}-1}{\frac{2}{1-Un}+2} jusqu'à la fin, je ne vois pas les opérations que tu effectues pour trouver ces résultats...

-pour la question 3 je vois l'idée, mais je ne comprend pas comment tu passes de \frac{2}{5\times (-2)^n} à \frac{1}{5\times (-2)^{n-1}}

-et pour la question 4 en revanche, je ne comprend pas le raisonnement...

Merci de prendre la patience de m'expliquer tout ça! =) (si je n'ai pas fait de topic pour l'exo deux, c'est d'une, parce-que je ne savais pas pour cette règle, et de deux, parce-que créer un topic pour une seule question d'exercice me semble un peu abusé peut-être?)

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 14:19

Re,

Il va falloir apprendre à calculer damouf

1) Ta suite est une suite définie par récurrence avec u_{n+1}=f(u_n)

avec f(x)=\frac{2}{1+x}

C' est une règle générale: pour ce type de suites, il est pratique d' étudier les variations de f.

Cela à permis de prouver que si x\in[0,3];, alors f(x)\in [0,3]

Ensuite, l' hérédité de la récurrence tombe toute seule.

2) v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}=\frac{\frac{2}{1+u_n}-1}{\frac{2}{1+u_n}+2}

v_{n+1}=\frac{\frac{2-1-u_n}{1+u_n}}{\frac{2+2+2u_n}{1+u_n}}=\frac{\frac{1-u_n}{1+u_n}}{\frac{4+2u_n}{1+u_n}}

v_{n+1}=\frac{1-u_n}{1+u_n}\,\frac{1+u_n}{4+2u_n}=\frac{1-u_n}{2(2+u_n)}

v_{n+1}=-\frac{1}{2}\,\frac{u_n-1}{u_n+2}=-\frac{1}{2}v_n

3)\frac{2}{5\times (-2)^n}=\frac{2}{5\times (-2)\times (-2)^{n-1}}=-\frac{1}{5\times (-2)^{n-1}}

Tu as oublié le signe "-"

4) On a v_n en fonction de u_n avec:

v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}

On cherche à exprimer u_n en fonction de v_n:

v_n(u_n+2)=u_n-1

u_nv_n+2v_n=u_n-1

 u_n-u_nv_n=1+2v_n

u_n(1-v_n)=1+2v_n

u_n=\frac{1+2v_n}{1-v_n}

Donc u_n=\frac{1-\frac{2}{5\times (-2)^{n-1}}}{1+\frac{1}{5\times (-2)^{n-1}}}

et \lim_{n\to +\infty}u_n=1 car \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{5\times (-2)^n}=0 et \lim_{n\to +\infty}\frac{2}{5\times (-2)^n}=0

Posté par
damouf
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 16:10

re,

C'est vrai que j'ai quelques soucis pour calculer, mais c'est surtout en général que j'arrive pas à sortir des factorisation du chapeau ou à bidouiller des fractions aussi aisement qu'il ne le faudrait ^^
Bon ça mis à part, j'ai à peu près tout compris, sauf encore à la question 2, où jai beau poser le calcul en tous sens, je ne comprend pas cette ligne la, sans doute quelque chose de simplissime qui m'échappe, mais en tout cas ça m'échappe x)

Dm suites à récurrence et somme de termes...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 16:20

Il y a une simplification par 1+u_n

d' où v_{n+1}=\frac{1-u_n}{4+2u_n}=\frac{1-u_n}{2(2+u_n)}

non ?

Posté par
damouf
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 16:33

oui, cette partie la, j'avais vu la factorisation, la ou je comprend pas c'est la première partie ou l'on multiplie \frac{1+Un}{4+2Un} par \frac{1-Un}{1+Un}

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 16:37

3$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\,\frac{d}{c}

Posté par
damouf
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 16:54

oui, d'accord, mais quand j'effectue ce produit, je trouve \frac{Un²-1²}{2Un²+6Un+4} = \frac{Un-1}{10+2Un}   après avoir factorisé par Un... (je crois que j'avais mal compris ta réponse précédente en fait)

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 17:02

Mais il ne faut pas développer: il faut simplifier avant par 1+u_n

Posté par
damouf
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 17:27

ha ouiiiiiii ça y est j'ai vu le truc! effectivement la bête règle du produit en crois ^^' merci de ta patience!!! =D

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dm suites à récurrence et somme de termes... 20-09-09 à 17:30

De rien damouf

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