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[DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique

Posté par
Nespressaw
19-12-11 à 11:22

Bonjour à tous,

c'est mon premier post ici, je me présente Alex, élève de Première Scientifique. Je n'ai pas choisi la plus facile voie qui soit mais je m'éclate
Enfin, jusqu'à ce DM que nous a donné notre bon professeur de mathématiques pour les vacances... Un cadeau de noël ^^'
Il concerne un triangle rectangle dans un cercle trigonométrique, je vous recopie l'énoncé :

A et B sont deux points du cercle trigonométrique associés aux réels π/4 et 2π/3.
Déterminer les points du cercle tels que le triangle ABM soit isocèle.

Voilà Alors j'ai pensé utiliser le théorème de l'angle au centre, mais ça m'énerve car je trouve des angles possibles mais seulement à partir de A et B, par exemple, après calcul, je trouve que l'angle AMB peut faire 5π/24, cependant, je ne sais à quel point du cercle appartient il (je ne suis pas sûr d'être très clair :$)
Je sais aussi que 4 solutions sont possibles.
Merci d'avance à tous, et bonnes vacances

Posté par
Asap
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 11:43

Bonjour,

Et en utilisant le repère trigonométrique par exemple? Dans ce repère les coordonnées de A sont (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) et celles de B (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}), tu peux donc calculer la distance AB. Les points M que tu cherches sont alors les points qui vérifient :
AM = BM (triangle isocèle en M, 2 solutions)
AB = BM (triangle isocèle en B, 1 solutions)
AB = BM (triangle isocèle en A, 1 solutions)

Les coordonnées de M sont (x,y) et tu cherches donc les couples qui vérifient ces équations

Posté par
watik
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 11:43

bonjour

considère le triangle OAB l'angle (OA;OB)=(2Pi/3)-Pi/4=5Pi/12
la bissectrice de cette angle coupe le cercle en C et D diamétralement opposés tels que ABC est isocèle en C et ABD est isocèle en D.

l'angle (Oi;OC)=Pi/4+(OA;OB)/2=Pi/4+5Pi/24=11Pi/24

Posté par
Asap
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 11:51

PS : j'ai oublié de précisé que les points M que tu cherches vérifient OM = 1 (car ils sont sur le cercle trigo) autrement dit x²+y² = 1. Sans ça, il y'a bien évidemment une infinité de points M possibles.

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 12:31

Asap, j'ai compris le raisonnement mais je me perds dans les racines ... Trouves tu que AB = 1.22 (environs) ?

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 12:46

AB = (-1/2-(2)/2)²+((3)/2-(2)/2)²
Je suis perdu :$

Posté par
watik
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 12:56

relis mon postes de 11:43

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 13:09

Watic, (OI; OC) n'est pas égal à 180 degrés ou ?

Posté par
watik
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 13:18

non

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 23:32

Pourrais tu me détailler plus par mp s'il te plait ? :s

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 19-12-11 à 23:33

Oups, je n'ai pas l'impression qu'il y ait de messages privés ici Peux tu m'expliquer un peu plus alors s'il te plait Watik ?

Posté par
watik
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 20-12-11 à 10:14

considère le triangle OAB
l'angle (OA;OB)=(i;OB)-(i;OA)   ; relation Chales des angles
               =(2Pi/3)-Pi/4=5Pi/12
le triangle OAB est isocèle de sommet O car OA=OB=rayon du cercle trigo=1
donc la bissectrice de l'angle (OA;OB) est aussi hateur issue de O. donc elle passe par le milieu de [AB] et coupe le cercle en C et D diamétralement opposés tels que ABC est isocèle en C et ABD est isocèle en D.

(OA;OC)=(OA;OB)/2=5Pi/24

C et D sont parfaitement définis par la donnée de leurs angles sur le cercle trigonométrique.

l'angle (i;OC)=(i;OA)+(OA;OC)
              =Pi/4+5Pi/24
              =11Pi/24
D dimétralement opoosé à C donc
(i;OD)=Pi+(i;OC)
      =Pi+11Pi/24
      =35Pi/24

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 20-12-11 à 10:40

Super, j'ai compris Merci beaucoup Dis, le triangle peut être isocèle en A ou B aussi non ?

Posté par
watik
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 20-12-11 à 10:43

oui bien sûr ce sont les deux cas qui manquent. peux-tu le prouver?

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 20-12-11 à 10:58

Je ne sais pas si je peux le prouver, notre prof nous a dit qu'il fallait trouver 4 points. 2 en M, 1 en A et 1 en B, pour que toutes les possibilités du triangles soient exploités et qu'il soit isocèle avec chacun de ses sommets.

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 20-12-11 à 19:09

Ne faudrait il pas faire partir les hauteurs de B et de A pour trouver les points sur le cercle ?

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 22-12-11 à 13:44

Je suis désolé mais après avoir passé ma soirée dessus, je suis paumé de chez paumé ... Quelqu'un pourrait il m'aider ?
Merci d'avance et joyeux noël

Posté par
laora44
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 26-12-11 à 15:54

Tu n'aurais pas M Leboursicaud par hasard ? ^^ j'ai exactement le meme a faire pour les vacances --'

Posté par
Nespressaw
re : [DM] Triangle isocèle dans un cercle trigonométrique 26-12-11 à 16:24

Sisi, d'ailleurs c'est Alexis là

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