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Element de même ordre engendre le même sous groupe

Posté par
infophile 11-05-09 à 12:58

Bonjour

Soit \varphi l'indicatrice d'Euler. J'ai montré que \Bigsum_{d|n}\phi(d)=n (classique).

Soit K un corps commutatif, montrer que deux éléments non nuls de même ordre engendrent le même sous-groupe de K*.

Bon là j'ai fait un truc mais je pense que c'est inutilement compliqué :

Soit a\neq 0 d'ordre d engendrant G=\{1,a,a^2,...,a^{d-1}\}.

Je me suis dit que si pour un autre élément b\neq 0 de même ordre engendrant G'=\{1,b,b^2,...,b^{d-1}\} on voulait qu'il soit égal à G il suffisait de montrer qu'il existe un isomorphisme de G dans G'.

L'application k\in \mathbb{Z}\to a^k est surjective de noyau n\mathbb{Z} or d'après le théorème d'isomorphisme \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} isomorphe à G donc nécessairement n = d.

De même G' est isomorphe à Z/dZ et donc G et G' sont isomorphes.

Bon c'est quand même tuer une mouche au lance roquette.. vous avez plus élémentaire ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 13:18

Salut Kévin

Minute, papillon !
Tu as montré qu'il y a isomorphisme entre G et G', mais ça ne montre pas que G=G';

Citation :
Bon c'est quand même tuer une mouche au lance roquette..




Sinon, il y a un truc assez simple : pense au polynôme \Large{X^d-1} et à ses racines.

Kaiser

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 13:27

Salut Kaiser !

Ah mince..

Les éléments de G et G' sont racines du polynôme X^{d}-1 et comme il est de degré d il a au plus d racines, donc les éléments de G et G' sont exactement ses racines donc G=G'.

C'est juste ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 13:28

toutafé !

Kaiser

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 13:32

La question qui suit est : "Etablir qu'il existe au plus ϕ(d) éléments de K* d'ordre d".

Pour l'instant je n'aboutis pas, j'ai essayé par l'absurde..

Peut-être en repassant par Z/dZ en ressortant le bazooka ^^

Posté par
kaiser Moderateurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 13:39

Non, pas par l'absurde.

Déjà, s'il n'existe pas d'éléments d'ordre d, alors le résultat est immédiat.
Sinon, il en existe au moins un que l'on note a et donc par la question précédente, tous les éléments d'ordre sont contenus dans le groupe engendré par a, c'est-à-dire \Large{H=\{a^k, \, k\in[[0,d-1]]\}}.
Ainsi, les éléments d'ordre d sont exactement les générateurs de H. Je te laisse continuer.

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 15:22

Bonjour

Je me permets de signaler ceci: Corps finis (Remise en ordre) ou je pense avoir fait le tour de la question!

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 15:34

En fait faut que je montre que a^k est générateur de H ssi k^d = 1 ? Comme ça il y a aura phi(d) éléments d'ordre d.

Ca me fait penser à k engendre Z/dZ ssi k^d = 1 [doit certainement y avoir un lien vu qu'ils sont isomorphes]

Si a^k engendre H alors 1 € Gp(a^k) donc il existe m tel que (a^k)^m = 1 <=> a^(km) = 1 = a^d

Hum zut je pensais aboutir à Bézout mais nan..

Je suis à l'ouest ?

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 15:43

Bonjour Camélia

En fait j'avais choisi au départ la démo de Rodrigo pour montrer que K* est cyclique, mais à priori le petit exo que je suis en train de faire est plus rapide.

Seulement maintenant que je lis ton topic il paraitrait qu'on démontre en même temps le théorème de l'élément primitif, mais ça diffère en quoi du fait que ça soit cyclique ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 15:46

C'est bien ça!

Si a^k engendre H si et seulement s'il existe m tel que a^{km}=\red a c'est-à-dire si et seulement si d divise km-1 et ça, c'est Bézout!

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 15:56

Ah oui j'aurais du prendre a et pas 1 ! Merci

Je dois pouvoir en conclure que K* est cyclique. Je regarde.

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 16:04

Euh je suppose que c'est à ce moment là que je suis censé me servir de l'indicatrice d'Euler.

Posté par
Camélia Correcteurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 16:06

Je ne sais pas trop où tu en es... mais il y a un résultat qui dit qu'un groupe qui a un et un seul sous-groupe d'ordre chaque diviseur strict est cyclique!

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 16:09

Je remets les étapes de l'exo :

1. Montrer que \Bigsum_{d|n}\varphi(d)=n. (fait)

2. Soit K un corps commutatif ; montrer que deux éléments non nuls de même ordre engendre le même sous-groupe de K*. (fait)

3. Etablir qu'il existe au plus \varphi(d) éléments de K* d'ordre d. (fait) [On a même montré exactement non?]

4. En conclure que tout sous-groupe fini de K* est cyclique.

Posté par
Camélia Correcteurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 16:28



Soit c_d le nombre d'éléments d'ordre d de K^* pour chaque diviseur d de l'ordre n de K^*. Bien sur \sum c_d= n vu que chaque élément a un ordre! On a vu que c_d\leq \varphi(d) et que \sum \varphi(d)=n, donc c_d=\varphi(d) en particulier c_n=\varphi(n), donc il y a des éléments d'ordre n!

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 16:42

D'accord merci

Tu peux répondre à mon post de 15:43 ? Je m'y perds un peu avec les différentes approches des corps finis

Posté par
Camélia Correcteurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 16:48

Le théorème de l'élément primitif c'est une autre histoire... Si K et L sont des corps commutatifs tels que K\subset L, avec des hypothèses on démontre que parfois il existe un élément a de L tel que L=K(a). C'est a l'élément primitif! Dans la deuxième partie du topic dont on parle, on démontre ce théorème dans le cas où K=F_p et L=F_{p^n}

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 17:01

Ok !

Parce que moi j'ai montré la cyclicité à partir du lemme cité par Rodrigo, mais ça n'apporte rien de plus par rapport à celle-ci ?

Dans ce cas comme c'est plus court je vais la privilégier à l'autre.

Bon ensuite j'aimerais montrer l'existence et l'unicité (à isomorphisme près) de Fq. Mais il y a tellement de démos j'ai l'impression que je ne sais pas laquelle choisir, qu'est-ce que tu me conseilles ?

La plupart semblent vouloir aboutir au fait qu'il existe un polynôme irréductible dans (Z/pZ)[X], et le(s) Fq serait (Z/pZ)[X]/(P(X)).

Mais plusieurs approches : inversion de Möbius, polynômes cyclotomiques..etc pfiou !

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Element de même ordre engendre le même sous groupe 11-05-09 à 17:09

J'aime bien la démonstration que j'ai mise dans le topic, mais elle ADMET qu'il existe un corps de décomposition pour tout polynôme.

Sinon, effectivement il faut prouver l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur Z/pZ. Il y a des méthodes où on compte les réductibles et on voit qu'il n'y en a pas assez, ou autant s'attaquer aux cyclotomiques qui sont bien utiles pour des tas de raisons!

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 26-05-09 à 21:27

Bonjour

Rodrigo > J'ai démontré le lemme dont tu parlais ici : Corps finis (Remise en ordre)

Et j'ai grâce à celui-ci démontré la cyclicité de A* où A est un anneau intègre.

En quoi est-ce que cela permet aussi de démontrer le théorème de l'élément primitif pour les corps finis ?

Merci !

Posté par
1 Schumi 1re : Element de même ordre engendre le même sous groupe 27-05-09 à 13:30

Salut

"En quoi est-ce que cela permet aussi de démontrer le théorème de l'élément primitif pour les corps finis ?" T'as fait le plus dur:

On prend K et K' deux corps dont K' est extension de K avec K' fini. Prends un élément de K' qui engendre K'*. N'aurait-il pas la bonne idée d'être un élément primitif?

Posté par
infophilere : Element de même ordre engendre le même sous groupe 01-06-09 à 09:57

Salut

Oui mais on a juste besoin de la cyclicité non? En quoi la démo de rodrigo apporte quelque chose ?

Posté par
1 Schumi 1re : Element de même ordre engendre le même sous groupe 01-06-09 à 13:05

Elle est plus élémentaire dans la mesure où elle n'utilise pas la cyclicité, seulement le fait que l'exposant du groupe est atteint.


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