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élément décomposable (produit extérieur- tenseurs)

Posté par
mellepapillon
29-11-08 à 16:38

Bonjour!

Je suis bloquée au dénouement de mon exercice! Grosse frustration! Est ce que quelqu'un pourrait de débloquer svp ? merci beaucoup d'avance!

Soit V un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K commutatif de caractéristique différente de 2.
J'ai montré que tout élément de Λ^{n}(V) (puissance extérieur n ième de V) était décomposable.

Soit v un élément de  Λ^{n-1}(V) et considérons _v:V Λ^{n}(V) l'application linéaire définie par x x Λ v (x extérieur v)
j'ai montré que _v = 0 v=0
Je dois en déduire que tout élément de Λ^{n-1}(V) est décomposable... et là je suis bloquée

le" en déduire" m'a certainement influencé, j'ai pensé considéré : Λ^{n-1}(V) L(V, Λ^{n}(V))
et on a _{v_1+v_2=_v_1+_v_2 et la question précédente nous donne l'injectivité, puis la dimension finie nous donne la bijectivité, donc on a un isomorphisme mais je ne sais vraiment pas quoi faire de ça!

Si non j'ai pensé utiliser que x Λ v Λ^{n}(V) donc décomposable mais cela me dit seulement que
x Λ v = v1 Λ v2 Λ.....Λ vn
mais les vi dépendent de x, je n'arrive pas à montrer que forcément v1 = x...

Merci d'avance pour votre aide et bonne fin de journée!

Mellepapillon

Posté par
mellepapillon
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 09:40

Posté par
Rodrigo
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 11:42

Bonjour
En fait ca depend un peu de ce que tu considère comme la puissance exterieure...
Quel est ta defnition? Est ce leproduit tensoriel quotienté par les tenseurs symetriques?

Posté par
Rodrigo
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 11:44

De plus n'oublie pas que \lambda^n V si V est de dimension n, est une droite...

Posté par
Rodrigo
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 11:45

C'est \Lambda^n V qu'il faut lire...

Posté par
mellepapillon
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 12:20

Bonjour!
Non pour moi c'est le produit tensoriel quotienté par Jp
où Jp est désigne le sous espace de la p ième puissance  tensorielle engendré par ces tenseurs et par les
{.e_I - () e_I, S_p, I : [1,p] [1,n] strictement croissante}

donc c'est plutôt antisymétrique que symétrique...

Oui je sais que \Lambda^{n} V est de dimension 1 mais ici v est élément de \Lambda^{n-1} V et c'est toute la difficulté

Merci d'avance

Posté par
Rodrigo
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 12:25

Ah non certainement pas anti symetrique!! Je te rappelle que x\wedge x=0

Ensuite le fait que la puissance n-ième extieure soit de dimension 1 est crucial ici parce que du coup phi_v evient un isomorphisme mais sur tout quand tu regarde x\wedge v ce sont tous des multiples d'un meme e_1\wedge...\wedge e_n ou les e_i sont une base quelconque de V.

Tu vois comment conclure?

Posté par
mellepapillon
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 16:58

ça oui je suis d'accord
on sait même que
x \Lambda v = v_1 \Lambda ... \Lambda v_n
et
 v_1 \Lambda ... \Lambda v_n = det(v_1,...,v_n) e_1 \Lambda ... \Lambda e_n ( ie c'est décomposable)

mais je ne vois pas comment conclure, pourquoi un des vi est forcément égal à x..pourquoi v serait décomposable...
Merci d'avance

Posté par
Rodrigo
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 17:04

Ben construit une basse debutant par x, notée disons x=x1,...xn alors x\wedge v=\mu x_1\wedge ...\wedge x_n Et donc x\wedge(v-\mu x_2\wedge...\xedge x_n)=0

Posté par
mellepapillon
re : élément décomposable (produit extérieur- tenseurs) 30-11-08 à 17:27

Disons si je considère la base (x,e_{2},e_{n}) ( en suppose que x= \sum_{k=0}^{n} \alpha_i e_i et \alpha_1 non nul

alors dans cette base
x\Lambda v = \beta x  \Lambda e_2 \Lambda ... \Lambda x_n
et donc  v= \beta e_2 \Lambda ... \Lambda e_n donc v est décomposable!

C'est marrant j'avais pensé à cette base mais je n'arrivais pas à  conclure! tout peut arriver un dimanche! Merci beaucoup!



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