Bonjour!
Je suis bloquée au dénouement de mon exercice! Grosse frustration! Est ce que quelqu'un pourrait de débloquer svp ? merci beaucoup d'avance!
Soit V un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K commutatif de caractéristique différente de 2.
J'ai montré que tout élément de Λ (puissance extérieur n ième de V) était décomposable.
Soit v un élément de Λ et considérons :V Λ l'application linéaire définie par x x Λ v (x extérieur v)
j'ai montré que = 0 v=0
Je dois en déduire que tout élément de Λ est décomposable... et là je suis bloquée
le" en déduire" m'a certainement influencé, j'ai pensé considéré : Λ L(V, Λ)
et on a =+ et la question précédente nous donne l'injectivité, puis la dimension finie nous donne la bijectivité, donc on a un isomorphisme mais je ne sais vraiment pas quoi faire de ça!
Si non j'ai pensé utiliser que x Λ v Λ donc décomposable mais cela me dit seulement que
x Λ v = v1 Λ v2 Λ.....Λ vn
mais les vi dépendent de x, je n'arrive pas à montrer que forcément v1 = x...
Merci d'avance pour votre aide et bonne fin de journée!
Mellepapillon
Bonjour
En fait ca depend un peu de ce que tu considère comme la puissance exterieure...
Quel est ta defnition? Est ce leproduit tensoriel quotienté par les tenseurs symetriques?
Bonjour!
Non pour moi c'est le produit tensoriel quotienté par Jp
où Jp est désigne le sous espace de la p ième puissance tensorielle engendré par ces tenseurs et par les
{. - () , , I : [1,p] [1,n] strictement croissante}
donc c'est plutôt antisymétrique que symétrique...
Oui je sais que est de dimension 1 mais ici v est élément de et c'est toute la difficulté
Merci d'avance
Ah non certainement pas anti symetrique!! Je te rappelle que
Ensuite le fait que la puissance n-ième extieure soit de dimension 1 est crucial ici parce que du coup phi_v evient un isomorphisme mais sur tout quand tu regarde ce sont tous des multiples d'un meme ou les e_i sont une base quelconque de V.
Tu vois comment conclure?
ça oui je suis d'accord
on sait même que
et
det ( ie c'est décomposable)
mais je ne vois pas comment conclure, pourquoi un des vi est forcément égal à x..pourquoi v serait décomposable...
Merci d'avance
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