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éléments de combinatoire

Posté par
radoine
12-03-08 à 18:49

bonjour, vous allez bien j'ai une question auxquelle j'ai un petit soucis:
2n joueur sont engagés à un tournoi de tennis. le premier tour de ce tournoi va mettre aux prises ces joueurs au cours de n rencontres démontrés qu'il y a (2n)!/(2^n*n!) façon d'organiser ce premier tour.

Posté par
veleda
re : éléments de combinatoire 13-03-08 à 18:54

bonjour,
il y a un ensemble E de 2n joueurs il faut donc réaliser une partition de E en n sous ensembles disjoints de 2 joueurs c'est à dire une partition par paires  {P1,P2,....Pn-1,Pn}   i variant de 1 à n Piest un ensemble de 2 joueurs
on cherche justement le nombre an de ces partitions

supposons une telle partition réalisée  c'est à dire les n paires de joueurs formées on peut ordonner  ces paires pour savoir la quelle jouera en 1,laquelle en 2....il y a pour une partition donnée n! permutations
donc pour anpartitions il y aura ann! façons de réaliser le tournoi de façon      ordonnée
on va maintenant chercher directement  le nombres de façons ordonnées de réaliser le tournoi
il ya {2n}\choose 2façons de choisir ceux qui vont jouer en premier
ensuite il ya {2n-2}\choose 2façons de choisir ceux qui jouent en second
puis{2n-4}\choose 2façons de choisir ceux qui jouent en trois
et ainsi de suite
finalement
{2n}\choose{2}{2n-2}\choose2{2n-4}\choose2..{2n-2i}\choose2
...{4}\choose 22\choose 2
tu ecris les combinaisons en! et cela se simplifie par télescopage multiplicatif et il reste
(2n)!/2n
on sa

Posté par
veleda
re : éléments de combinatoire 13-03-08 à 18:58

sait que c'est égal à ann!
on en déduit an=(2n)!/(2nn!)

il y a une autre démonstration mais je ne l'ai pas en tête ,sans doute en exprimant an+1en fonction de an
bon courage

Posté par
loraline
re : éléments de combinatoire 06-04-08 à 17:46

bonjour, j ai le meme probleme à faire, et dans votre raisonnement il y a un passage que je ne comprends pas, à partir du moment où vous écrivez

[...]
et ainsi de suite
finalement
(2parmis 2n) * (2 parmis 2n-2)...

je ne comprends pas comment on a pu déduire ça et surtout pourquoi c'est des multiplications car moi en essayant de résoudre le probleme je suis parvenu à ça

an=(2n!)/(2*(2n-2)) - (1+2+3+....+(2n-1))/2

et je suis totalement bloquée!!!!



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