Inscription / Connexion Nouveau Sujet
endomorphise -image
bonsoir a tous ,j'ai un petit probleme avec une question d'un exercice sur les endomorphismes :
E désigne un R espace vectoriel des applications de R dans R de classe Cinfini et D:fapartenant a E----f'
déterminer l'image de D.
Si vous pouvez m'aider ce serait sympa.merci d'avance.Mat
Bonsoir Mat 
L'image de D est clairement E, en effet toute fonction f de classe C infini est a fortiori continue, donc admet une primitive F. F est elle-même de classe C infini, donc est un élément de E; de plus D(F) = f, ce qui montre que D est bien surjective.
Mais avec plaisir! 
Je suis sûr qu'on te demande à un moment si D est injective, et de déterminer son noyau: n'est-ce pas? 
Lol :d j'en ferais part a mon prof dés demain matin!lol , il y en a un deuxieme du même genre..comment j'aime pas sa..
Ah, eh bien n'hésite pas à poser des questions si tu sèches, parce que moi j'aime bien ce genre de trucs!
Eh bien j'attends toujours que tu postes tes questions! Par contre dépêche-toi car je vais bientôt quitter!
ah okayy mais explique moi quand même je veux voir si tu es vraiment un expert :p : donc alors :
Soit E=Cinfini(R,R), le R espace vectoriel des fonctions définies sur R , indéfiniment dérivables et à valeurs réelles.
Pour tout réel a, et pour tout f appartenant a E , on pose µa(f)=f(a)
démontrer que µ(a) est une forme linéaire sur l'espace E.
Pour tout f appartenant a E , on pose delta(f) =4f'' -4f' +5f.
Montrer que delta est un endomorphisme de E
Déterminer une base du noyau ker(delta).
voilaa je trouve sa difficile..
mais explique moi quand même je veux voir si tu es vraiment un expert
-> Jamais rien entendu d'aussi convaincant!!
Extrêmement simple, il suffit d'appliquer la définition : pour K et L deux scalaires et f et g deux éléments de E, mu_a (Kf + Lg) donne le scalaire (Kf + Lg)(a), c'est-à-dire, par définition même: K.f(a) + L.g(a), ce qui s'écrit bien K.mu_a(f) + L.mu_a(g).
Donc pour tout a, mu_a est une application linéaire de E dans R, c'est-à-dire une forme linéaire sur E!
Idem pour delta, tu dois vérifier que delta(Kf+Lg) = K.delta(f) + L.delta(g), il suffit d'écrire et d'utiliser la linéarité de la dérivatin!
Son noyau est l'ensemble des fonctions f C infini solutions de l'équa diff 4f" - 4f' + 5f = 0...
C'est un sev (comme tout Ker sui se respecte!) de dimension 2 dont une base et donnée par les deux fonctions linéairement indépendantes qu'on obtient en résolvant l'équation caractéristique (le théorème vu en classe te dit que ces deux fonctions constituent une famille génératrice de l'ensemble des solutions de cette équa diff, tu n'as donc plus qu'à vérifier leur indépendance!)
impressionant!!!j'ai encore une petite question sa te dérange pas?? en tout cas merci , il faut que tu me donne des cours d'algébre je crois^^.Et sans indiscrétion , tu es en prepa?tu es étudiant?prof? lol
Un petit détour par mon profil te donnera tous les renseignements utiles me concernant! (clique sur l'icône à côté du pseudo d'un membre pour accéder à ses informations publiques)
Allez, en route pour la dernière question avant le dodo!
Waou je suis impréssionné, c'est pour sa que je me sens trés faible devant toi..ou vous je ne sais plus quoi dire!:d bon alors :
Si a et b sont des réels,on définit l'ensemble Fa,b = {f appartenant a E|f(a)=f(b)=0} montrer que Fa,b est un sev de E.=0
prenons maintenant a=0 et b=pi.
Fa,b et ker(delta) sont-ils des sous espaces supplémentaires de E?
Voila, par ailleurs, étant donné ton niveau, si c'était possible de me donné un petit coup de pouce de temps en temps et de m'expliquer certaine choses, se serait génial:d
Ici tout le monde se tutoie, on est sur internet, ne t'inquiète donc pas!
Quant à t'expliquer certaines choses, tu trouveras toujours des gens ici pour le faire (que ce soit moi ou d'autres) tant que tu te plies aux règles du forum:
Fa,b est clairement un sev de E.
Pour ta dexième question, tu es sûr qu'on ne choisit pas plutôt b = pi/2 ?
J'ai pour Ker(delta) l'ensemble des fonctions de la forme exp(0,5x)[A.cos(x) + B.sin(x)] avec A et B constantes réelles , donc un élément de l'intersection de Ker(delta) et F0,pi vérifie simplement A = 0 : ainsi, f(x) = exp(0,5x).sin(x) par exemple est un élément non nul de cette intersection : la somme n'est donc pas directe!
euhh mince j'ai fait des faute de frappe . tout d'abord ma premiere question était : Montrer que Fa,b est un sous espace vectoriel de E.
ensuite on prend bien pour b=pi..mais il redemande la mm kestion ensuite pr b =pi/2
Alors dans le deuxième cas, l'intersection de ces deux sev est bien réduite à {0} puisque qu'on obtient A=B=0 en utilisant que tout élément f de leur intersection vérifiera f(0) = f(pi/2) = 0.
De plus, leur somme vaut bien E: pour s'en assurer, il suffit de prouver que pour tout f de E, on peut trouver un élément h(x) = exp(0,5x)[A.cos(x) + B.sin(x)] de Ker(delta), et une fonction u de E s'annulant en 0 et pi/2, tels que f = h + u.
Il suffit donc de trouver les constantes A et B telles que la fonction u = f - h de E s'annule en 0 et en pi/2...
On traduit cela en équations, et on tombe sur le petit système:
f(0) - A = 0
f(pi/2) - B.exp(pi/4) = 0
qui se résout aisément!
Bonne nuit!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac