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Endomorphismes et sous-espace propre
Bonsoir. Voici l'énoncé que j'ai commencé à traiter. Merci d'avance pour vos conseils précieux.
Soient f et g deux endomorphisme de R^n tels que g o f = f o g. De plus, f admet n valeurs propres réelles distinctes.
1/ Montrer que chaque sous espace propre de f est stable par g
J'ai choisi E_k un sous espace propre de f.
Pour tout x de E_k, f(x) = kx => (gof)(x) = kg(x)
=> (fog)(x) = kg(x)
=> g(x) appartient à E_k
=> chaque sous espace propre de f est stable par g
2/ En déduire que tout vecteur propre de f est vecteur propre de g.
Hmmm, ça je ne vois pas comment le justifier...
3/ Justifier que f est diagonalisable. Montrer que, pour toute base B de R^n constituée de vecteurs propres de f, la matrice associée à g relativement à la base B est diagonale. En déduire que g est diagonalisable.
Et là non plus...
Voila, si quelqu'un peut confirmer pour la 1/ et me conseiller pour le reste, c'est gentil ! Bonne soirée 
C'est OK pour 1/
Il semble que tu ne vois pas quelle est la dimension des sous-espaces propres de f. Un indice :
+ f est un endomorphisme de R^n
+ f admet n val. propres distinctes.
Bonsoir erio.
g admet au plus n valeurs propres réelles distinctes, et comme f en admet n qui sont stables par g, alors g admet les mêmes valeurs propres que f ?
Merci de ton aide en tout cas.
non!
Raisonne seulement sur f. Oublie g pour l'instant.
Quelle est la dimension d'un ssev propre de f sachant les hypothèses?
Il y a un petit argument à donner, car en général un sous-espace propre peut être de dim >1 :
Les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont en somme directe (ça peut se démontrer par récurrence).
si d_k est la dimension de E_k, 
d_k
n (n termes dans la somme car n val. propres distinctes)
Mais les sous-espaces propres sont au moins de dim 1, donc tous les d_k sont égaux à 1...
D'où une réponse rapide à la question 2, logiquement, et un argument pour la question 3/
Les sous-espaces de f sont stables par g et de dimension 1
Si x
0 est dans E_k, il dirige donc E_k et :
g(x)
E_k, donc g(x) et x sont colinéaires, donc x est vecteur propre de g
Je ne comprends pas vraiment certaines "notions" telles que "diriger", "colinéaire"... Je n'ai rien vu de tout cela.
Si je dis que si x appartient à E_k en étant différent de 0 alors g(x) appartient à E_k ça suffit pour expliquer que x est vecteur propre de g ?
OK... euh... Je suis un peu étonné que tu étudies les sous-espaces propres d'un endomorphisme sans savoir ce que sont deux vecteurs colinéaires (notion étudiée au lycée...).
Si tu préfères :
Tout E_k est de dimension 1, donc tout élément x non nul de E_k est une base de E_k. (famille libre car à un seul élément non nul, génératrice car de cardinal la dimension de E_k).
Soit x dans E_k, comme g(x) est dans E_k, g(x) s'exprime dans la base {x} de E_k :
g(x) = 
x
Donc x est vecteur propre de g
La matrice d'un endomorphisme f dans une base B est diagonale ssi B est constituée de vecteurs propres de f... Ca marche aussi pour g.
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