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Ensemble dénombrable

Posté par
Dwarliz
25-02-14 à 19:17

Salut !
Je m'interrogeais hier sur la définition d'un ensemble dénombrable.
Voici la définition "officielle" :
Formellement, un ensemble E est dit dénombrable quand il existe une bijection de N sur E.

Mais spontanément, j'ai pensé a :
Soit E un ensemble. Quelque soit F dans E, si F est borné (j'entend par là qu'il ne possède pas de borne infinie) et card(F) = n, alors E est dénombrable.

Cette définition est-elle équivalente à celle officielle ?

Merci d'avance pour vos réponses

PS : n entier naturel.

Posté par
carpediem
re : Ensemble dénombrable 25-02-14 à 19:22

salut

un ensemble E est dénombrable s'il existe une surjection de N sur E

ta définition est bof bof

prenons Q ... que dire de [0, 1] Q ... voire même de [n, 2n] Q ?

Posté par
Dwarliz
re : Ensemble dénombrable 25-02-14 à 19:55

L'idée que je soutenais est en faite la suivante : si tout sous-ensemble de E possède une cardinalité finie, alors E est forcément dénombrable. (à condition que le sous-ensemble soit borné).
Mais question est donc : est-ce vrai ?

Posté par
carpediem
re : Ensemble dénombrable 25-02-14 à 20:07

si tout sous-ensemble de E est de cardinal fini alors E est fini ....

Posté par
Dwarliz
re : Ensemble dénombrable 25-02-14 à 20:10

Bah... non.
Regarde l'ensemble N. Quelqu'un soit le sous-ensemble que je prend [a;b], sa cardinalité est finie... et pourtant N ne l'est pas !

Posté par
carpediem
re : Ensemble dénombrable 25-02-14 à 20:22

et l'ensemble 2N des pairs dans N ?

Posté par
ming
ensemble dénombrable 26-02-14 à 02:42

bonjour Dwarliz

si tout sous-ensemble de E est dénombrable, alors E est forcément dénombrable."

élémentaire: FE, FFbarre = E donc E est dénombrable  

Posté par
Dwarliz
re : Ensemble dénombrable 26-02-14 à 09:31

Je n'ai jamais dit que F était dénombrable... j'ai dit que F était de cardinalité fini. Et si F est de cardinalité finie, ça ne veut absolument pas dire que Fbarre aussi. Et puis le but est d'avoir une solution alternative pour définir un ensemble dénombrable, alors si tu utilises le faite que ses sous-ensembles soient dénombrable, ça n'a pas de sens ming.

La question est bien : si j'ai un ensemble E, et que je sais que n'importe quel segment F de E a une cardinalité finie, puis-je en conclure que E est dénombrable ?

Posté par
Surb
re : Ensemble dénombrable 26-02-14 à 10:09

Bonjour,

le premier exemple de carpediem est très clair.

[0, 1]\cap \Q  est un sous-ensemble borné de \Q mais pas de cardinalité finie et pourtant \Q est dénombrable donc ta définition n'est en tous cas pas équivalente... Après on pourrais se dire que c'est une proposition: si tout sous-ensemble borné de E est de cardinalité finie alors E est dénombrable. Mais je ne suis même pas certain que ça soit vrai...

Posté par
ming
ensemble dénombrable 26-02-14 à 13:18

bonjour Dwartiz

Je te cite :" si tout sous-ensemble de E possède une cardinalité finie, alors E est forcément dénombrable"

Justement, ton hypothèse étant fausse, toutes les parties d'un ensemble dénombrable ne sont pas finies , la conclusion peut être vraie ou fausse!
C'est une question de logique

AAL+

Posté par
Surb
re : Ensemble dénombrable 26-02-14 à 17:02

Citation :
si tout sous-ensemble de E possède une cardinalité finie, alors E est forcément dénombrable

Il n'y a rien de faux là-dedans, néanmoins comme un ensemble est toujours sous-ensemble de lui-même ca revient à dire que tout ensemble fini est dénombrable ce qui n'est pas très intéressant....

Posté par
ming
ensemble dénombrable 26-02-14 à 19:10

Bonjour Surb

Dwartiz parle des sous-ensembles finis stricts de E, sinon quel intérêt?

Soient A,BE tels que AB = E , B est le complémentaire de A dans E et cardA = n > 0

cardE = CardA + CardB donc si CardB = p, E est fini
                            si CardB = ℵ₀, E est dénombrable
                            si CardB = 2ℵ₀, E a la puissance du continu
                            et...

AA+

Posté par
Dwarliz
re : Ensemble dénombrable 26-02-14 à 20:52

Merci à tous !

Je viens de comprendre le problème que ça pose avec les rationnels !
Donc ma définition n'était pas équivalente...

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