Salut !
Je m'interrogeais hier sur la définition d'un ensemble dénombrable.
Voici la définition "officielle" :
Formellement, un ensemble E est dit dénombrable quand il existe une bijection de N sur E.
Mais spontanément, j'ai pensé a :
Soit E un ensemble. Quelque soit F dans E, si F est borné (j'entend par là qu'il ne possède pas de borne infinie) et card(F) = n, alors E est dénombrable.
Cette définition est-elle équivalente à celle officielle ?
Merci d'avance pour vos réponses
PS : n entier naturel.
salut
un ensemble E est dénombrable s'il existe une surjection de N sur E
ta définition est bof bof
prenons Q ... que dire de [0, 1] Q ... voire même de [n, 2n] Q ?
L'idée que je soutenais est en faite la suivante : si tout sous-ensemble de E possède une cardinalité finie, alors E est forcément dénombrable. (à condition que le sous-ensemble soit borné).
Mais question est donc : est-ce vrai ?
Bah... non.
Regarde l'ensemble N. Quelqu'un soit le sous-ensemble que je prend [a;b], sa cardinalité est finie... et pourtant N ne l'est pas !
bonjour Dwarliz
si tout sous-ensemble de E est dénombrable, alors E est forcément dénombrable."
élémentaire: FE, FFbarre = E donc E est dénombrable
Je n'ai jamais dit que F était dénombrable... j'ai dit que F était de cardinalité fini. Et si F est de cardinalité finie, ça ne veut absolument pas dire que Fbarre aussi. Et puis le but est d'avoir une solution alternative pour définir un ensemble dénombrable, alors si tu utilises le faite que ses sous-ensembles soient dénombrable, ça n'a pas de sens ming.
La question est bien : si j'ai un ensemble E, et que je sais que n'importe quel segment F de E a une cardinalité finie, puis-je en conclure que E est dénombrable ?
Bonjour,
le premier exemple de carpediem est très clair.
est un sous-ensemble borné de mais pas de cardinalité finie et pourtant est dénombrable donc ta définition n'est en tous cas pas équivalente... Après on pourrais se dire que c'est une proposition: si tout sous-ensemble borné de E est de cardinalité finie alors E est dénombrable. Mais je ne suis même pas certain que ça soit vrai...
bonjour Dwartiz
Je te cite :" si tout sous-ensemble de E possède une cardinalité finie, alors E est forcément dénombrable"
Justement, ton hypothèse étant fausse, toutes les parties d'un ensemble dénombrable ne sont pas finies , la conclusion peut être vraie ou fausse!
C'est une question de logique
AAL+
Bonjour Surb
Dwartiz parle des sous-ensembles finis stricts de E, sinon quel intérêt?
Soient A,BE tels que AB = E , B est le complémentaire de A dans E et cardA = n > 0
cardE = CardA + CardB donc si CardB = p, E est fini
si CardB = ℵ₀, E est dénombrable
si CardB = 2ℵ₀, E a la puissance du continu
et...
AA+
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