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Niveau autre
Ensemble indénombrable bien ordonné
Posté par Fractal
Bonjour 
Est-il possible, dans ZF (ie sans l'axiome du choix) de construire un ensemble bien ordonné non dénombrable?
Merci
Fractal 
Salut
N^N est bien indénombrable si je ne m'abuse. Alors un truc de ce genre là devrais faire l'affaire:
On prends deux suites x et y d'entiers naturels et on les compare en comparant les premiers termes qui différent et on dit qu'ils sont égaux s'il n'y en a pas.
L'ensemble est bien ordonné et indénombrable...
Damned! J'utilise l'axiome du choix, zut alors...
En fait, plus j'y pense et plus je me dis qu'on a peu de chances. Non pas parce que j'y arrive pas (quoique... 
) mais parce que si on prend une sous ensemble indénombrable, je vois mal comment justifier l'existence d'un plus petit élément sans l'axiome du choix. A moins de le construire pour qu'il vérifie par définition la propriété mais là aussi, sans AC je vois pas trop comment...
Désolé d'avoir dérougi ton topic...
On utilise l'hypothèse du continu. Vu qu'il me semble de l'hypothèse du continu est indépendante de ZF, je pense que ça répond à ta question.
Citation :
Vu qu'il me semble de l'hypothèse du continu est indépendante de ZF, je pense que ça répond à ta question.
Vu qu'il me semble de l'hypothèse du continu est indépendante de ZF, je pense que ça répond à ta question.
Je ne vois pas en quoi le fait qu'elle soit indépendante de ZF répondrait à ma question, l'axiome du choix aussi est indépendant de ZF ^^
Sinon effectivement HC est indépendante de ZF, même si des travaux récents en théorie des ensembles portent à croire que l'hypothèse du continu serait "essentiellement fausse" (ce qui a une définition précise, mais il y a encore une conjecture à résoudre avant de pouvoir conclure sur sa fausseté essentielle)
Donc si on pouvait se passer de l'hypothèse du continu, ce serait pas mal non plus
:D
Merci pour ton lien quand même, ça a l'air intéressant
Fractal
Ça y est, j'ai trouvé (enfin, le Krivine a trouvé, plutôt )
Il dit :
Citation :
[...]
Le théorème suivant n'utilise pas non plus l'axiome du choix :
Théorème 2.15. La collection des cardinaux n'est pas un ensemble.
[...]
Le théorème suivant n'utilise pas non plus l'axiome du choix :
Théorème 2.15. La collection des cardinaux n'est pas un ensemble.
Donc a fortiori il existe un cardinal strictement plus grand que
Fractal