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Posté par
Narhm
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:23

C'est bien ça, d'ailleurs je précise que les graphes plus haut sont pris pour 3$ \lambda_1=\lambda_2=1.
Changer les valeurs des constantes lambda1,2 ne change rien dans l'allure générale des graphes.

Posté par
tazia
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:24

nice to know

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:27

Tu as utilisé quel logiciel Narhm pour tes courbes ? et tu as rentré quoi ?

Posté par
Narhm
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:39

Heu non, rectification, les solutions sont :
3$ \{{ y_1(t)=\lambda_1\cos(abt)+\lambda_2\fr{a}{b}\sin(abt) \\ y_2(t)=\lambda_2\cos(abt)-\lambda_1\fr{b}{a}\sin(abt)

J'ai utilisé Maple pour faire l'ensemble des courbes, voici un screenshot de ma feuille de travail ( celui-ci fait varier les constantes a et b, mais on peut faire varier toutes les constantes a,b,lambda1 et lambda2 en même temps de la même manière) :

équa.diff et matrice

Posté par
tazia
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:47

ah oui mince j'avais oublié le signe "-"

Posté par
Narhm
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:47


Y a pas de mal.

Posté par
tazia
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:54

Bon je vais aller faire dodo. Je vous remercie énormément de votre aide! C'était un exo facultatif que j'ai compris grâce à vous ! je vous souhaite une bonne nuit!

Posté par
Narhm
re : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:55

Et bien, bonne nuit tazia !

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 20-06-09 à 01:55

Salut Narhm > je n'oublie pas ce que j'avais promis.

Là je ne suis pas trop en état, mais va aire un tour demain matin ou demain soir sans faute.

Aller, sur ce

SeeYouSpaceCowboy

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 20-06-09 à 01:56

Le pseudo spike était déjà pris ?

Posté par
Narhm
re : équa.diff et matrice 20-06-09 à 14:38

> Scrogneugneu :
Je t'avoue que j'ai jamais essayé de mettre le psoeudo de Spike, ou bien Jet ...
Et puis ce serait un peu comme leur voler leur vie ! Je préfère qu'ils restent dans le Bibop plutôt qu'ils viennent faire des math sur l'[url][/url]

Pour reparler des intégrales premières, en attendant tes infos j'ai vu hier dans mon bouquin d'Henri Cartan sur Calcul Différentiel/Eq. Différentielle qu'il y avait consacré une ou deux pages sur les intégrales premieres. J'y jetterais aussi un œil.

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 21-06-09 à 17:16

On considère un système différentiel x_i'=f_i(x_1,...,x_n) pour 1\le i\le n où les f_i : U->\mathbb{R} sont des fonctions données, continues sur un ouvert U de \mathbb{R}^n

On appelle intégrale première sur U toute fonction C^1, F:U->\mathbb{R} telle que : \forall x \in U, \Bigsum_{i=1}^n f_i(x)\frac{\partial F}{\partial x_i}(x)=0

Pour toute solution x(t) du système différentiel, la fonction t->F(x_1(t),...,x_n(t)) est constante. (il suffit de considérer la dérivée de t->F(x(t)))

Posté par
Narhm
re : équa.diff et matrice 21-06-09 à 17:27

Merci pour cette explication scrogneugneu ( j'étais même justement en train de lire ça dans mon bouquin ).
Je comprends le truc, mais y a t-il une application concrète au fait qu'il existe ou pas des intégrales premières ?

Si j'ai bien compris (??) ça nous permettrait d'avoir les trajectoires géométriques et ce de manière indépendante du temps sur des voisinages de points, c'est ça ?

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 21-06-09 à 17:39

En fait, j'avais lu ceci dans un bouquin aussi !

Oui pour moi c'est une interprétation géométrique qu'il faut considérer.

Si on prends par exemple x_1'(t)=x_2(t) et x_2'(t)=-x_1(t), une intégrale première de ce système est x_1^2+x_2^2 qui sont des trajectoires circulaires de centre 0.


Tu peux regarder ce post : intégrale première

Par contre, trouver une intégrale première suppose de savoir résoudre des EDP, et ça je ne sais pas encore faire, sauf cas particuliers et exemple simples ^^

Posté par
Narhm
re : équa.diff et matrice 21-06-09 à 17:55

Merci pour l'exemple et le lien,
De mon coté, je lisais toujours l'allure des trajectoires sur la matrice A associé au système différentielle, pour ton exemple ici on a : 3$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, comme les 2 valeurs propres distincts sont imaginaires pures, on a à faire à un centre ( des ellipses ) dont l'origine est un équilibre stable.

Ceci dit j'ignore comment cela se passe pour des systèmes différentielles en dimension supérieur et surtout à coefficient non constant. D'où certainement l'avantage des intégrales premières !

Bien merci pour ca, je regarderai d'un peu plus pres
Bonne journée et bonne fete de la musique

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 21-06-09 à 17:56

Merci, à toi aussi Narhm

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 22-06-09 à 23:41

Salut Narhm,

Citation :
Ceci dit j'ignore comment cela se passe pour des systèmes différentielles en dimension supérieur


Essaie par exemple avec une matrice antisymétrique n*n. On dvrait trouver des sphères pour les intégrales premières non ?


Citation :
surtout à coefficient non constant

Oui là ça se complique !

Tu es familier à la résolution d'EDP ?

A+

Posté par
scrogneugneu
re : équa.diff et matrice 22-06-09 à 23:43

Enfin le mieux que l'on puisse dire, c'est qu'elles sont contenues dans une sphère

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