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Niveau Licence Maths 1e ann
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équa.diff et matrice

Posté par
tazia 14-06-09 à 17:46

Bonjour!

Soient a,b>0 et le système d'équations diferentielles suivant:
y_1'=a²y_2
y_2'=-b²y_1

Il faut que je montre que pour chaque solution (y_1,y_2):² la fonction b²y_1²+a²y_2² doit être constante. Et il faut que je trouve "toutes" les solutions du système.

Voici ce que j'ai fait pour l'instant:

On sait y'=Ay=(y1' y2') on a donc:

y=C*exp(Ax)=C*(x^k/k!)*A^k
on tombe donc sur la matrice suivante:

A=
0  a²
-b² 0

pour essayer de trouver uen solution j'ai calculé:
A²=-a²b²*Id

A³=
0    -a^4*b²
a²b²   0

A^4=(a^4*b^4)*Id

A^5=

   0      a^6*b^4
-a^4b^6     0

A^6=(-a^6b^6)*Id

J'espère que vous pouvez m'aider! Merci d'avance!

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 17:52

j'ai peut être pensé à une formule avec sinus-cosinus mais je n avance pas..merci d avance!

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 18:43

Salut

Tu connais la notion d'intégrales premières ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 19:21

mais pour intégrér il me faut d'abord trouver la solution y non?

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 19:35

Bah tu peux déjà les trouver les solutions, y_1 et y_2, non ?

tu trouves quoi ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 19:39

y1=c*exp(a²x)
y2=c*exp(-b²x)

c'est ca ou pas?(c'est pas bon ce que j'ai fait au dessus?)

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:00

?

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:13

Je n'avais pas vu, mais on a : y1' en fonction de y_2 et y_2' en foncbtion de y_1

je ne sais pas comment on résout ce genre d'équadiff

Je dériverai la première équation :

on a y_1'(t)=a^2y_2(t) donc y_1''(t)=a^2y_2'(t)=-a^2b^2y_1(t)

donc il faut résoudre y_1''(t)+a^2b^2y_1(t)=0 ce qui donne y_1(t)=\lambda_1cos(abt)+\lambdasin(abt)

Reste à trouver y_2(t)

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:14

y_1(t)=\lambda_1cos(abt)+\lambda_2sin(abt)

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:25



je ne vois pas exactement comment tu as fait pour trouver y1 ? tout ce que moi je vois c'est:

y1=(-y1'')/a²b²

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:27

bah y_1''(t)=-a^2b^2y_1(t) donc y_1''(t)+a^2b^2y_1(t)=0

j'ai juste tout fait passer de l'autre côté

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:31

oui jusqu'ici j'ai compris mais comment tomber sur:

y1(t)=1cos(abt)+2sin(abt)

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:35

Eh bien tu dois avoir une méthode générale de résolution d'équations différentielles linéaires du second ordre ...

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:43

Ah ba super..on vient de commencer les équa. diff du second ordre vendredi, donc je ne sais pas trop comment on fait la seule formule que le prof nous a passé est celle ci:

y^n=(de k=0 jusqu'à n-1) a_k*y^k+b(x)

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:43

Bonjour à tous !
Si vous le permettez, je vais me joindre à vous

Ton idée tazia était très bien.
Comme tu l'as dit, on est ramené à étudier une équation différentielle du première ordre sans second membre :
3$ Y^'=AY avec 3$ A=\begin{pmatrix} \\ 0 & a^2 \\ \\ -b^2 & 0 \\ \end{pmatrix}, \ Y=\begin{pmatrix} \\ y_1\\ \\ y_2 \\ \end{pmatrix}

D'après ton cours les solutions sont les fonctions 3$ Y(t)=K\exp(tA) avec K\in \mathbb{R}^2.

Comme tu l'as remarqué (à montrer via récurrence ), on a :
3$ \forall p\in \mathbb{N}, \\ A^{2p} = (-1)^p(ab)^{2p}I_n \\ A^{2p+1} = (-1)^p(ab)^{2p}A
La série exponentielle étant définie par 3$ \exp(A)=\Bigsum_{k=0}^\infty \fr{A^p}{p!} et étant absolument convergente, on peut alors regrouper les termes :
3$ \exp(tA)=\Bigsum_{k=0}^\infty \fr{A^p}{p!} = \Bigsum_{p=0}^\infty \fr{t^{2p}A^{2p}}{(2p)!} + \Bigsum_{p=0}^\infty \fr{t^{2p+1}A^{2p+1}}{(2p+1)!}

Que vaut la première série ?
Que vaut la deuxième série ?
Qu'en déduis-tu sur la forme des solutions ?

Sauf erreur bien sur

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:49

La prmière série vaut cos(t)*A^2p et la deuxième série vaut sin(t)*A^(2p+1) ne manquerait-il pas l'identité quelque part dans la formule?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:49

Ah non j'ai rien dis ..2 secondes

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:53

Non absolument pas !
3$ \Bigsum_{p=0}^\infty \fr{t^{2p}A^{2p}}{(2p)!} = \Bigsum_{p=0}^\infty (-1)^p \ \fr{t^{2p}(ab)^{2p}}{(2p)!}I_n qui vaut ?

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:53


Excuse moi, j'ai posté trop vite et sans rafraichir ...

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:54

on a exp(tA)=cos(t)*((-1)^p(ab)^2p)*Id + sin(t)*((-1)^p*(ab)^2p)*A

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:56

Et que vaut p dans tout ca ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:58

p=1

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 20:59


Pourquoi ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:00

je l'ai testé en calculant A², A³ etc...

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:03

Donc pour toi : 3$ \exp(tA)=-(ab)^2\cos(t)I - (ab)^2\sin(t)A ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:04

oui pourquoi? c'est faux?

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:09

Oui !!
Tout d'abord le resultat ne pourrait etre juste : remplace t par 0, tu as alors que exp(0)=-(ab)2I ...

Ensuite, pourquoi te reste-t-il tes p quand tu calcules les séries ? La sommation se fait sur p !! On ne peut pas faire sortir un facteur dépendant de p aussi !
Pour etre plus précis : 3$ \Bigsum_{p=0}^\infty \fr{t^{2p}A^{2p}}{(2p)!} = \Bigsum_{p=0}^\infty (-1)^p \ \fr{t^{2p}(ab)^{2p}}{(2p)!}I_n = (\underbrace{\Bigsum_{p=0}^\infty (-1)^p \ \fr{(tab)^{2p}}{(2p)!}}_{ \text{ serie entiere bien connue }})I_2

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:18

Ah mais oui c'est vrai on a donc:exp(At)=cos(tab)*Id+sin(tab)*A on a donc
y(x)=

cos(tab)     a²sin(tab)
-b²sin(tab)   cos(tab)

(avec des"" devant)

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:19

Non
Tu as du aller un peu trop vite sur la deuxième série^^

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:23

oui mince alors...bon c'est peut être ca mntt:
exp(At)=cos(tab)*Id+sin(tab)*A*t

y(x)=

cos(tab)     a²*tsin(tab)
-b²*tsin(tab)   cos(tab)

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:24

Tu peux nous rappeler le développement en série entière de la fonction sinus ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:29

ah désolée...c'est parce que je suis entrain de faire autre chose ca m'embrouille..bon j vais essayer de me concentrer on a pour la 2e série:
sin(t)*(ab)^2p*A maintenant y'a le "p" qui me dérange

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:45

C'est faux !
Encore une fois comment se fait-il qu'il y ait encore des p qui traine ?

Citation :

Tu peux nous rappeler le développement en série entière de la fonction sinus ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 21:51

sin(t)=(-1)^p*(x^(2p+1)/(2p+1)!)

voilà le problème est que A^(2n+1)=(-1)^p*(ab)^2p*A

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:12

est ce qu'on aurait pour la 2e série:

(sin(tab)/ab)*A ?

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:27

Oui, c'est bien ca !

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:32

cool! on a donc:

exp(At)=

cos(tab)      asin(tab)/b
-bsin(tab)/a    cos(tab)

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:34

Très bien

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:36

Je te remercie énormémeeeeeent! quand meme une petite question encore pourquoi on me demande de montre:
que la fonction b²y_1²+a²y_2² est constante?

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:39

Tu es en quelle année tazia ? Tu as déjà vu les dérivées partielles ?

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:44

Oui je les ai déjà vu et je suis en 1ere annee! je pense que je vois à peu près comment le montrer (ps: ta question est ensé être un reproche?)

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:49

un reproche Pourquoi ? je voulais juste savoir si tu avais déjà vu les dérivées partielles, pour t'expliquer un peu les intégrales premières, dont ton exercie est un cas particulier, et qui explique notamment pourquoi la fonction qu'on te propose est constante. Donc c'est pour ça que je te demandais en quelle année tu étais.

Désolé pour la mésentente ^^

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:50

lol...oki ^^

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:51

Sinon, tu n'en as pas besoin pour montrer que b^2y_1^2+a^2y_2^2 est constante si y_1 et y_2 sont solutions du système.

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 22:56

Ah ok , Merci par contre si je veux intégrer y1'  pour trouver y1 je tombe sur:

y1=a²*y_2²/2 et
y2=-b²y_1²/2

(bon peut etre c'est pas ca)

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:01

Suppose que (y_1,y_2) est solution du système différentielle.

On veut montrer que t->b^2y_1^2(t)+a^2y_2^2(t) est constante.

Tu peux donc montrer que (b^2y_1^2(t)+a^2y_2^2(t))^'=0

Posté par
Narhmre : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:01

Scrogneugneu peux-tu nous expliquer ( si possible ) le lien qu'il y a avec le fait que la fonction soit constante et les intégrales premières? Je n'en ai jamais entendu parler.

De mon coté, je voyais la chose de manière graphique. En fait si on étudie la famille des courbes paramétrées F(t)=(y1(t),y2(t)) ( les portraits de phase ) on s'aperçoit que ce sont toutes des ellipses ( des cercles pour a=b ) :

équa.diff et matrice

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:04

waaaaou c'est joli tout ca!

Posté par
scrogneugneure : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:14

Finalement,vous avez trouvé quoi pour y_1 et y_2 ?

Narhm > oki

Posté par
taziare : équa.diff et matrice 14-06-09 à 23:20

y_1=_1*cos(tab)+_2*asin(tab)/b

y_2=_1*bsin(tab)/a+_2*cos(tab)

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