n est une constante (en fait il s'agit d'une suite d'équations différentielles)

Bonjour,

- es-tu certain qu'il n'y a pas d'erreur dactylographique dans l'équation ?
- es-tu certain qu'on demande de fournir une solution explicite de l'équation ? Est-ce qu'on ne demande pas de répondre à la question strictement posée sans avoir besoin de connaître la solution explicite de l'équation ?
Ceci dit, voici quelques informations :
Le changement de variable X=2(x+1) ramène à une forme d'équation classique : l'équation différentielle de Laguerre.
- Dans le cas particulier de n pair, une solution particulière est donnée par le polynôme de Laguerre d'ordre n/2 . Mais il ne répond pas au problème car ne satisfaisant pas la condition y(0)=0.
Pour que les conditions y(0)=0 et y'(0)=1 soient satisfaites, il ne suffit pas de connaître une seule solution particulière (comme par exemple le polynôme de Laguerre d'ordre n/2): il faut déterminer les deux constantes de la solution générale.
- Dans le cas général, les solutions de cette équation sont connues : La formule explicite de y(x) comporte des fonctions de Kummer. Ce sont des fonctions spéciales qui ne peuvent pas être écrites avec un nombre fini de fonctions élémentaires.
- Une autre façon de faire consiste à exprimer la solution sous forme de série infinie : c'est possible, mais cela nécessiterait un développement ardu.