Pour la première question, c'est évident, il suffit de prendre
partie entière de .
Pour la deuxième je vois pas c'est quoi F?

oui pardon j'ai oublié de signaler que F est l'ensemble des fonctions non nulle et qui s'annule en au moins un point tel que f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
  et encore merci d'avance !

Bonjour

Difficile de répondre quand il faut deviner l'énoncé !

Les fonctions de F, elles sont définies sur quel ensemble ?
Le "a" de la première première question...  c'est qui ? un réel quelconque ?
Le "alpha" de la deuxième première question, c'est qui ? il est donné ? il faut le trouver ? et f est la même fonction que celle donnée au départ ?

MM

bonjour
c'est parceque le problème est trop long est bien compliqué que j'ai juste écrit les exercices qui me manque alors pour les fonctions de F sont définies de vers , continue sur
le a +*  
pour le c'est un réel quelconque tel que * et ce n'est pas nécessaire de le trouvé et f est la meme fonction donné au départ .
et merci encore d'avance !

alors si tel est la cas, ta première question est censé démontrer que f s'annule en tout réel positif... donc c'est facile : f est la fonction nulle !

visiblement l'énoncé est trop incomplet pour pouvoir t'aider.

Recopie l'énoncé exact... en précisant ce que tu as déjà résolu... et là je pourrai essayer de t'aider !

Le nombre a n'est certainement pas quelconque...

et le formulation de la deuxième (1) semble donner l'expression de f alors que c'est visiblement ce qu'on cherche !

Non, vraiment, là je ne comprends pas ton problème...

MM

Rebonjour! si c'est comme ça voila tout l'énoncé les questions où je me suis bloqué sont soulignés pour les autres c'est déjà fait :
  
on note E l'ensemble des applications f de  dans , continues sur , telles que pour tout couple (x,y) de nombres réels:
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) .et F l'ensemble des fonctions f différentes de l'application nulle, et f s'annule en au moins un point

I) 1). soient la fonction cos(x) avec *+. montrer qu'elle appartient à F.

2.soit fE. montrer les propriétés suivantes:
f(0)=1 ou f(0)=0
si f(0)=0 f est nulle
si f(0)=1 f est paire  
II) A) 1)soit q et x montrer !Pq tel que Pq/2^qx<(Pq+1)/2^q (q indice )
  2)soit a*+ et Da=(a*p/2^q tq p q)
  montrer que tout réel est limite d'une suite d'élément de Da
B) soit fF  et E=(x*+ f(x)=0)
1) montrer que E est non vide et admet une borne inferieure a
2) mq il existe une suite (Xn) d'elements de E convergeant vers a En deduire que f(a)=0 et a>0

par la suite on pose w=pi/2a et on note h la fonction xcos wx
3) montrer que q f(a/2^q)+1 =2(f(a/2^q+1))²
4) mq q f(a/2^q)=h(a/2^q)
5)mq q ,p f(p*a/2^q)=h(p*a/2^q)
6)mq xDa f(x)=h(x) et en deduire f=h
C) donner tous les éléments de F
c'est tout  et merci pour l'aide d'avance!

Re-Bonsoir

Ah ben oui, c'est tout de suite plus clair avec un énoncé complet.

II)A-1) xyz1975 t'a déjà répondu, il suffit de remarquer que 2^q*x est compris entre deux entiers consécutifs... p_q est le plus grand entier inférieur ou égal à ce nombre, c'est à dire sa partie entière.

II)B-2) l'existence d'une telle suite découle directement de la définition de la borne inférieure. Puisque a est le plus grand des minorants de E, tout intervalle [a;a+1/n] a un point commun avec E... qu'on appelle x(n). On voit aisément que cette suite convient. La continuité de f donne directement f(a)=0. et comme f n'est pas nulle, d'après le I)2), f(o)0... et donc a0.

II)B-4) le résultat est évident pour q=0 (les deux sont nuls) et tu remarqueras que la fonction h vérifie aussi la relation montrée dans la question précédente... ce qui permet de faire une récurrence sur q pour obtenir le résultat. On obtient l'égalité des carrés au rang (q+1)... je te laisse voir comment obtenir à partir de là l'égalité voulue.

II)B-5) On remarquera que h vérifie aussi l'égalité fonctionnelle h(x+y)+h(x-y)=2h(x)h(y). Là encore on peut procéder par récurrence pour démontrer que résultat pour p0 (pour p=0, les deux membres valent 1 et on utilise ensuite la relation avec x=p*a/2^q et y=a/2^q pour montrer la formule au rang suivant). La parité donne ensuite le résultat sur pour p.

II)B-6) Il me semble que la première partie de la question est évident et avec le II)A-1) (x peut être approché aussi près que voulu par un élément de D_a) et la continuité de f, on montre que f(x)=h(x) pour tout x réel.

C) en faisant le bilan de tout ce que tu as montré, F est constitué de toutes les fonctions du type de h... je te laisse conclure.

Voilà.

MM

bonjour ,
voilà maintenant ça devient plus clair! merci pour votre  aide , MatheuxMatou  et xyz1975!

pas de quoi...

MM