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Équation non linéaire

Posté par
Sasouki 28-09-16 à 23:35

Bonjour svp j'aimerais poser une question quand on  a une fonction non linéaire (dans cet éxemple c'est [(lnx)/x*(x-2)]+1) et qu'on cherche a montrer la monotonie sur ]0,2[ on doit étudier le signe de la dérivé de la fonction qui elle aussi est non linéaire : (-1+2/x-2lnx )comment faire pour étudier le signe? et est ce qu'il y'a une autre méthode menant au résultat? Merci d'avance.

Posté par
jsvdbre : Équation non linéaire 29-09-16 à 00:42

Bonjour Sasouki

Il faut mettre toutes les parenthèses possibles.
On va la renoter proprement : f(x) = \dfrac{ln(x)}{x.(x-2)}+1 . Est-ce correct ?

Sinon, oui, la méthode générale consiste à étudier le signe de la dérivée.

Sinon, tu fais à la main sur des intervalles où chaque fonction qui composent f a une monotonie non changeante : c'est galère dès que la fonction devient un tantinet compliquée.

Posté par
Sasoukire : Équation non linéaire 13-10-16 à 20:01

Je vous remércie pour votre réponse mais je n'ai pas trés bien compriz ce que vous voulez dire

Posté par
jsvdbre : Équation non linéaire 14-10-16 à 13:17

Bonjour Sasouki.
Quelle est la fonction d'origine ?

Si c'est f(x) = (x-2)\dfrac{Ln(x)}{x}+1 alors f'(x)=\dfrac{2ln(x)-2+x}{x^2}

Si c'est f(x) = \dfrac{Ln(x)}{x(x-2)}+1 alors f'(x)=\dfrac{2(1-x)Ln(x)+x-2}{x^2(x-2)^2}

On est plus près de la première solution que de la seconde, vu ce que tu as écrit.
Donc effectivement, pour étudier la monotonie de f, tu calcules f', tu étudies son signe et tu fais un tableau de variation.

Sinon, en supposant f(x) = (x-2)\dfrac{Ln(x)}{x}+1 pour x \in ]0,2[, pour procéder par produit et somme (et non composition) de fonction.
Tu poses g(x) = x -2, h(x) = \frac{1}{x}, i(x) = Ln(x), alors f(x) = g(x).h(x).i(x)+1
Chacune des fonctions g et i sont croissantes sur ]0, 2[, donc leur produit est croissant.
Tu multiplie par la fonction décroissante h et tu ne peux plus rien dire.
Je te conseille d'oublier vite vite cette seconde méthode.

La première est la plus performante à tous égards.


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