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equation trigo avec racine

Posté par
lulu909 17-09-09 à 23:03

Bonjour,
j'ai à résoudre l'équation suivante : (cosx)^1/2+(sinx)^1/2=1

je souhaiterais savoir quelle méthode utiliser. j'ai essayé d'étudier la fonction (cosx)^1/2+(sinx)^1/2-1=0 et de faire un changement de variable X=(cosx)^1/2 et Y=(sinx)^1/2 mais ça n'aboutit pas.

merci par avance pour votre aide

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:17

bonsoir

déjà : ensemble de définition de l'équation ?

Posté par
verdurinre : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:18

Bonsoir
On peut remarquer que 0 et \frac\pi 2 sont solutions
Par ailleurs on a x\in\left[0\;;\;\frac\pi 2\right]\ modulo\ 2\pi pour que l'écriture ait un sens.

De plus \sqrt{\cos x} \ge \cos x et  \sqrt{\sin x} \ge \sin x car \sqrt{ u} \ge u pour u\in[0;1]

Enfin \cos x + \sin x \ge 1 pour x\in\left[0\;;\;\frac\pi 2\right]

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:22

verdurin : ta dernière ligne est une généralité pour toi ?+

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:24

c'est juste, mais il faut que notre ami le démontre !

Posté par
bill159re : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:31

Bonsoir,

\begin{array}{l} \\ X = \sqrt {\cos x} \Rightarrow {X^2} = \cos x \\ \\ Y = \sqrt {\sin x} \Rightarrow {Y^2} = \sin x \\ \\ \end{array}

Tu effectue le changement de variable dans l'équation:

\sqrt {\cos x} + \sqrt {\sin x} = 1 \Rightarrow \frac{{\left( {\sqrt {\cos x} + \sqrt {\sin x} } \right)\left( {\sqrt {\cos x} - \sqrt {\sin x} } \right)}}{{\left( {\sqrt {\cos x} - \sqrt {\sin x} } \right)}}= 1 \Rightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sqrt {\cos x} - \sqrt {\sin x} }} = 1


tu obtiendra:  \cos x - \sin x = \sqrt {\cos x}- \sqrt {\sin x} \Rightarrow {X^2}- {Y^2}= X - Y \Rightarrow\left( {X - Y} \right)\left( {X + Y} \right) = X - Y

d'où {X^2} - X = {Y^2} - Y

tu factorise:

\cos x - \sqrt {\cos x} = \sin x - \sqrt {\sin x}  \Rightarrow \sqrt {\cos x} \left( {\sqrt {\cos x} - 1} \right)= \sqrt {\sin x} \left( {\sqrt {\sin x}  - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {\cos x} - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {\sin x} - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt {\sin x} }}{{\sqrt {\cos x} }}

Je vais voir si ça abouti...

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:33

pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué !

Posté par
machinre : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:35

bonjour.
cosx+sinx=2(cos(x-/4)21

Posté par
bill159re : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:36

c'est l'inverse que tu voulais dire

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:46

verdurin a donné la réponse...

l'équation est définie sur [0 ; /2] modulo 2

pour tout x d'un tel intervalle, (cos(x)) cos(x)
et idem avec sinus.

donc si x est solution, alors cos(x)+sin(x) 1

or, pour tout x de cet intervalle, cos(x)+sin(x)= 2 * cos(x-/4) (*)

et -/4 x-/4 /4

donc cos(x-/4) 1/2

et donc cos(x) + sin(x) 1

et donc finalement cos(x) + sin(x) = 1

ce qui donne x=0 ou /2 (réutiliser l'expression (*)

on vérifie ensuite que ces deux solutions conviennent.

MM

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:47

Machin : ton inégalité est fausse ! (un cosinus n'est que rarement supérieur à 1...)

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:50

(cos(x) + sin(x) est toujours INFERIEUR à racine de 2)

Posté par
machinre : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:51

c'est varai;merci

Posté par
MatheuxMatoure : equation trigo avec racine 17-09-09 à 23:52

pas de quoi... cela arrive à ces heures tardives !

Posté par
bill159re : equation trigo avec racine 18-09-09 à 00:05

et pour mon calcul? ça n'abouti pas?

Posté par
machinre : equation trigo avec racine 18-09-09 à 00:10

cos x+sin x >=1 pour tout x dans [0,Pi/2]; il suffit d'étudier la fonction f(x)=cosx+sinx-1

Posté par
lulu909re : equation trigo avec racine 18-09-09 à 00:43

merci pour vos réponses

le domaine de définition est [0;/2]

des solutions évidentes sont x=2k et x=/2+2k
dans l'interval ]0;/2[, il semble qu'il n'existe pas de solution pour cela on utilise le fait que cosx+sinx>1 que l'on montre en étudiant la fonction cosx+sinx-1 qui vaut 0 pour x=0 puis présente un maximum pour x=/4 et décroit jusqu'à 0 pour x=/2

cosx+sinx est un majorant de (cosx)+(sinx)
pour les raisons que verdurin a indiquées
donc les seules solutions sont x=2k et x=/2+2k
qu'en pensez-vous?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : equation trigo avec racine 18-09-09 à 01:45

Bonsoir ;

on peut aussi y aller directement en écrivant :

3$\fbox{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1\;\Longleftrightarrow\;\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=cos^2x+sin^2x\;\Longleftrightarrow\;\underb{\fbox{\sqrt{cosx}-cos^2x}}_{\ge0}=\underb{\fbox{sin^2x-\sqrt{sinx}}}_{\le0}}

Posté par
bill159re : equation trigo avec racine 18-09-09 à 02:05

> elhor_ abdelali, c'est ce que je disais au post de 23:31, on m'a complètement ignoré

Posté par
doudjre : equation trigo avec racine 18-09-09 à 15:25

c est simple si on ecrit sinx sinx0  on peut alors dire que  sinx=(1-cosx2) on obtient:
cosx+sinx=cosx+(1-cosx2)
en posant X=cosx on a: cosx+sinx=X+(1-X2)=1

X+(1-X2)=1 en élévant les deux membres au carré on a:
X+1-X2+2(X-X3)=1   X(1-X)+2(X-X3)=0   X(1-X)+2[X(1-X2)]=0   X(1-X)+2[X(1-X)(1+X)]=0    [ X(1-X)][ (X(1-X))+2(1+x)]=0

le second membre ne s annulera jamais car etant constitué de deux racine carrée quisont donc des termes positifs pour qu il s annule il fautdrait que la valeur de x dans 1+x=0 soit solution dans x(1-x)=0 or -1 n est pas solution de x(1-x)=0 conclusion le second terme ne peut pas s annuler

il faut donc voir le premier.

le premier terme nous donne: x(1-x)=0 x=1 ou x=0 les solutions sont donc: cosx=0 et cosx=1 x=/2 ou x=0.

x={0,/2}
  

Posté par
doudjre : equation trigo avec racine 18-09-09 à 15:26

zut c était une double racine


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