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Niveau Maths sup
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Equilibre instable?

Posté par
Drysss
02-01-09 à 19:02

J'ai la suite u définie par u0 et u_(n+1)=\frac{3}{2(u_n)^2 +1}. On me demande de l'étudier.


J'ai posé f pour que un+1=f(un) et étudié f restreint à [0;3] qui est stable par f
si u0 alors u1[0;3] donc je peux me le permettre.

je trouve un seul point fixe 1. et f est décroissante.
Ensuite je remarque que f:[0;1]->[1;3]->[0;1]. Je décide donc d'étudier f rond f pour avoir stabilité des intervalles. Le problème est que f rond f est bien compliqué et que j'ai des eq polynomiales du 4eme degré donc je laisse tomber.

Ce que j'ai fait est donc étudier les suite u(2n) et u(2n+1) et donc que u(2n)[0,1] et u(2n+1)[1;3] et donc si u veut converger, c'est forcément vers 1.

Or 1 est un equilibre instable pour u : f'(1)=-4/3 donc |f'(1)|>1
Donc j'ai dit que u convergeait vers 1 ssi u prenait la valeur 1 à un moment. Or f(x)=1x=1 ou x=-1. Donc si u converge vers 1 alors u0=1 ou u0=-1

Conclusion : si u0=1 ou u0=-1, u converge vers 1 . Sinon u diverge

Ma question est celle là :
Si on a une valeur e équilibre instable, a t-on u converge vers e ssi il existe n tel que u(n)=e.

On a pas vu ce théorème en cours qui m'a l'air pourtant assez pratique, du coup ca me fait douter.



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