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équivalence de suite

Posté par
calounette17 26-07-16 à 10:13

Bonjour on me donne la suite Vn et on me demande de trouver un équivalent pour en déduire la limite :

Vn =\frac{ n^3 +\sqrt{ n^5 +n^2}}{2^n +nln(n)}

N'étant pas encore très à l'aise avec les opérations d'équivalent,  je ne parviens pas encore à voir les opérations à effectuer pour arriver à ce que l'on cherche

J'ai commencé par ceci :
Vn =\frac{ n^3 +\sqrt{ n^5 +n^2}}{2^n +nln(n)} =\frac{\frac{n^3}{n^2} +\frac{\sqrt{ n^5 +n^2}}{n^2}}{\frac{2^n}{n^2} +\frac{nln(n)}{n^2}} =\frac{ n +\sqrt{ n +\frac{1}{n^2}}}{\frac{2^n}{n^2} +\frac{ln(n)}{n}}

Or Lim\frac{ln(n)}{n}=0 pour n--> + mais je me rends compte que la suite ne m'avance pas beaucoup étant donné que 2^n / n^2 tend vers + en +, quelqu'un pourrait-il m'aiguiller, merci d'avance et bonne journée !

Posté par
Recomic35re : équivalence de suite 26-07-16 à 12:10

Peux-tu trouver un équivalent simple du numérateur? Lequel des deux termes "l'emporte" quand n tend vers l'infini ?
Idem pour le dénominateur ?

Posté par
carpediemre : équivalence de suite 26-07-16 à 12:38

salut

le numérateur et le dénominateur sont une somme de deux termes

pour chacun d'eux ::

1/ quel est le terme le plus "gros" ?
2/ factoriser par ce terme

Posté par
calounette17re : équivalence de suite 26-07-16 à 12:45

Et bien justement bon pour le dénominateur nln(n) = o(2^n) mais pour le numérateur  dois-je faire :
\sqrt{n^5+n^2} = n\sqrt{1+n^3}
or 1+n^3\sim n^3 donc n\sqrt{n^3+1} \sim n^(5/2)
Et 5/2<3 donc n^3+n^(5/2) \sim n^3
On obtiendrait alors Vn \sim \frac{n^3}{2^n}
Est-ce bien cela ?

Posté par
carpediemre : équivalence de suite 26-07-16 à 13:31

\sqrt {n^5 + n^2} = n^{5/2} \sqrt {1 + n^{-2/5}} !!!

n^3 + \sqrt {n^5 + n^2} = n^3 (...) ??

Posté par
carpediemre : équivalence de suite 26-07-16 à 13:33

oui c'est cela ....

Posté par
calounette17re : équivalence de suite 26-07-16 à 14:35

Eux excusez-moi mais \sqrt{n^5 +n^2} = n\sqrt{n^3 +1} est juste aussi

Posté par
carpediemre : équivalence de suite 26-07-16 à 16:32

ouais ... mais ça n'est pas suffisant pour avoir un équivalent .... donc autant factoriser directement par n^(5/2) ...


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