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Niveau Licence Maths 1e ann
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equivalence, espace quotient ..

Posté par
lisee26
16-10-08 à 10:55

Bonjour,
Alors voila je bloque sur le dernier exo de ma fiche de td et j'aimerais bien avoir quelques pistes  ...  
merci

Soient E un ensemble, R une relation d'équivalence dans E, eE et zE/R
On dit que e est un représentant de z, et on écrit z=[e]R (ou eventuellement z=[e] ou z=e barre) si z est la classe de e modulo R.

Soit N ={0,1,2..} l'ensemble des nombres naturels et A=N*N

1) On définit la relation R dans A, donnée par (x1,y1)R(x2,y2) x1+y2 = x2+y1
Montrer que R est une relation d'équivalence.


Donc la j'ai pas eu de difficultés, j'ai montré R :
reflexive x1+y1 = x1+y1 donc (x1,y1)R(x1,y1)
symetrique x1 + y2 = x2+y1
           x2+y1 = x1+y2 (x2,y2)R(x1,y1)
pour la transitivité j'ai aussi reussi mais c'est un peu long a ecrire.

C'est pour la suite que je m'en sors pas :

2)Appellons Q l'espace quotient A/R et définissons l'opération * dans Q de la façon suivante
[(x1,y1)*(x2,y2)] = [(x1+x2, y1+y2)]

Montrer que cette opération est bien définie, cad la définition ne dépend pas des représentants choisis.


J'ai commencé a faire avec x1',y1',x2',y2' mais en faite j'arrive pas a voir ce que c'est lespace quotient et ça me bloque

3) Etant donné zQ, voir qu'il peut être représenté par un (x,y) A, avec x=0 ou y=0
Considerer z=[(a,b)] pour un certain (a,b)A et distinguer les cas b>a, a>b et a=b



4) Est ce que vous pouvez identifier Q (muni de *) avec un ensemble (muni d'une certaine opération) que vous connaissez déja? donner explicitement une bijection entre Q et cet ensemble.

Posté par
lafol Moderateur
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 11:06

Bonjour
l'espace quotient, c'est l'espace des classes d'équivalence pour la relation R.
c'est pour ça qu'il faut vérifier que le résultat ne dépend pas du représentant choisi dans chaque classe pour l'évaluer

tu dois vérifier que si (x1,y1) R (x'1,y'1) et (x2,y2) R (x'2,y'2), alors (x1+x2,y1+y2) R (x'1+x'2,y'1+y'2)

Posté par
lafol Moderateur
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 11:09

remarque que deux couples sont en relation si la différence entre le premier et le deuxième membre est la même dans les deux couples (mais on ne peut pas le dire ainsi tant qu'on est dans N : si le premier est inférieur au deuxième, la différence n'a pas de sens dans N)

ton exercice a pour but de construire Z à partir de N ....

Posté par
lisee26
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 11:47

je n'arrive pas a trouver (x1+x2,y1+y2) R (x'1+x'2,y'1+y'2) en fonction de (x1,y1) R (x'1,y'1) et (x2,y2) R (x'2,y'2),
ca me fait x1-x2+y1+y2 = -x'2+y2+x'1-y1 ... :s
mais je comprends pas le * on s'en sert pas du coup?  

Posté par
lafol Moderateur
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 14:19

le *, comme tu dis, on s'en sert pour savoir que c'est (x1+x2,y1+y2) et la même chose avec les primes qui doivent être des représentants d'une même classe, qu'on appellera classe de (x1,y1) * classe de (x2,y2)

(x1+x2,y1+y2) R (x'1+x'2,y'1+y'2) signifie x1+x2+y'1+y'2 = x'1+x'2+y1+y2

sachant que (x1,y1) R (x'1,y'1) et (x2,y2) R (x'2,y'2), autrement dit que x1+y'1=x'1+y1 et x2+y'2=x'2+y2, ça se fait, non ?

Posté par
lisee26
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 15:57

j'arrive toujours pas je tombe sur la meme chose que tout a l'heure

Posté par
lafol Moderateur
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 15:59

eh ! il n'y a qu'à additionner membre à membre les deux égalités !

Posté par
lisee26
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 16:03

oh non j'ai trop honte la !
je cherché super compliqué pfff je suis bete
merci

Posté par
lafol Moderateur
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 16:06

cherche toujours les trucs simples en premier : la plupart du temps ils suffisent, et quand ils ne suffisent pas, tu n'as pas passé trop de temps à essayer

Posté par
lisee26
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 16:13

merci
je vais m'occuper de la question 3 maintenant

Posté par
lisee26
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 16:30

z E/R

est ce que z= [a,b] ca correspond a ca :
[a]*[b]=[a,b] ??

Posté par
lafol Moderateur
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 16:33

non....

z = [(a,b)] signifie que z est la classe de (a,b), donc l'ensemble de tous les (x,y) tels que (x,y)R(a,b), ou encore tels que x + b = a + y

l'étoile ne porte qu'entre des classes, et les classes sont des classes de couples. [a] n'a aucun sens dans cet exercice ....

Posté par
lisee26
re : equivalence, espace quotient .. 16-10-08 à 21:36

ok ok
alors j'ai(x,y)A donc a NxN donc x et y >= 0
je trouve donc a=b quand quand x=y=0
a>b quand y=0
a<b quand x=0

mais je vois pas a quoi cette piste peut m'aider

Posté par
lafol Moderateur
re : equivalence, espace quotient .. 17-10-08 à 19:03

je ne sais pas ce que tu cherches.
ce qui est demandé, c'est de trouver soit (x,0), soit (0,y) en relation avec un (a,b) donné, et on te conseille de distinguer les cas a < b , a > b et a=b ....



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