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Niveau Licence Maths 1e ann
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Espace affine

Posté par
H_aldnoer
13-02-09 à 14:29

Bonjour,

je souhaite montrer que \Large \mathcal{E}=\{P\in\mathbb{R}[X],\,P(a)=b\} est un espace affine. Il faut trouver un élément et une direction, pour \Large a,b\in\mathbb{R}.

On nous a présenté les espaces affines comme action simplement transitive, et dans ce sens la, je ne vois pas comment montrer que \Large \mathcal{E} est un espace affine.

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 14:32

Bonjour, ben ton espace c'est H+b avec H l'hyperplan noyau de P->P(a)

Posté par
gui_tou
re : Espace affine 13-02-09 à 14:32

Salut

L'ensemble des polynômes qui s'annulent en a n'est-il pas un espace vectoriel ?

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 14:39

Donc en fait, il suffit d'écrire \Large\mathcal{E}=\{P\in\mathbb{R}[X],\, P(a)=0\} + b ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 14:49

Oui.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 14:56

La groupe \Large E:=\{P\in\mathbb{R}[X],\, P(a)=0\} opère de façon simplement transitive sur \Large \mathcal{E} via l'application suivante :


\Large f : (E,\mathcal{E}) \to \mathcal{E} \\(P,Q)\to P+Q

C'est cela, si j'ai bien compris ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 15:07

Si tu veux oui...mais bon parler d'action simplement transitive (elle est meme librement tansitive) pour ça c'est pas trop la peine...mais c'est effectivement un espace homogène.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 15:20

En fait, mon souci, c'est que j'ai la définition :

Citation :
Soit A un ensemble et E un espace vectoriel.
On dit que A est un espace affine (attaché à E) si le groupe (E,+) opère de façon simplement transitive sur A au moyen de l'application \Large \varphi : E\times A \to A \\ (\vec{u},M) \to \vec{u}+M


.Mais "agit de façon simplement transitive au moyen de ..." c'est équivalent à l'application \Large\varphi est bijective ??


.Donc je souhaite montrer que \Large \mathcal{E} est un espace affine avec cette définition. Et je n'arrive pas à saisir pourquoi le groupe (E,+) opère de façon simplement transitive sur \Large\mathcal{E} au moyen de l'application \Large \varphi.

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 15:24

Ce n'est pas du tout que phi est bijective dire que le groupe opére simplement (ou simplement transitivement mais dans la pratique on dit juste simplement) c'est dire que l'action est fidèle est transitive, ici montre donc qu'elle est fidèle (ce sera pas dur...elle est libre) et transitive la non plus ce sera pas dur.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 15:29

Oui, je me suis planté!

En fait si G est un groupe et X un ensemble quelconque (non vide), on dit que l'application \Large f_x : G \to X \\\,\,\, g \to g.x est l'application d'orbite de x.

On dit alors que le groupe G opère sur l'ensemble X de façon simplement transitive si l'application d'orbite \Large f_x est bijective.



Ce que je ne comprends pas c'est ce que signifie : le groupe (E,+) opère de façon simplement transitive sur A au moyen de l'application \Large \varphi : E\times A \to A \\ (\vec{u},M) \to \vec{u}+M. C'est surtout le "au moyen de ..." qui me perturbe.

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 15:31

Ben il faut bien la définir l'action... ton application \phi définit l'action de E sur A.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 15:33

Mais pour moi, le groupe (E,+) opère de façon simplement transitive sur A, ca signifie que l'application d'orbite \Large%20f_x%20:%20E%20\to%20A%20\\\,\,\,%20g%20\to%20g.x est bijective, non ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 15:35

Oui...c'est ta définition...

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 15:39

Quel est la différence entre :

Citation :
Soit A un ensemble et E un espace vectoriel.
On dit que A est un espace affine (attaché à E) si le groupe (E,+) opère de façon simplement transitive sur A au moyen de l'application \Large \varphi : E\times A \to A \\ (\vec{u},M) \to \vec{u}+M


et

Citation :
Soit A un ensemble et E un espace vectoriel.
On dit que A est un espace affine (attaché à E) si le groupe (E,+) opère de façon simplement transitive sur A.



?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 15:40

Ben dans le deuxième cas tu ne dit pas par quelle action...

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 15:45

Et comment je fais avec le premier cas pour montrer que \Large \mathcal{E} est un espace affine ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 15:47

Ben comme je t'ai dit ton espace c'est H+b, du coup H obère simplement sur ton espace par l'opération que tu a définie.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 15:48

Alors je suis d'accord que \Large\mathcal{E}=H + b par contre ce que je ne comprends pas c'est pourquoi :

Citation :
du coup H obère simplement sur ton espace par l'opération que tu a définie.


?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 15:51

Ben écris le si tu veux t'en convaincre.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 15:58

Dire que H opère sur l'ensemble \Large\mathcal{E} de façon simplement transitive, c'est dire que l'application \Large%20f_x%20:%20H%20\to%20\mathcal{E}%20\\\,\,\,%20g%20\to%20g.x est bijective ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:00

Ben oui c'est la définition que tu as non?

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:00

\Large x il vit dans quel espace ??

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:03

Dans ton espace \mathcal{E}

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:07

Ok! Montrer la bijection de \Large f_x revient-elle à montre l'injection ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:09

Non... pourquoi?

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:12

Car je n'arrive pas à montrer la surjection : \Large f_x(g)=h ça donne g.x=h et donc g=\frac{h}{x} ?!

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:14

?? g et x et h ne vivent pas du tout dans le meme espace!! g est dans le groupe qui agit (l'espace vectoriel en fait) et x et h sont dans ton espace affine

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:18

Euh, je me donne un \Large h\in\mathcal{E} et je cherche à savoir s'il existe un \Large g\in H tel que \Large f_x(g)=h, non ?!

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:19

Oui...
Mais 'est vraiment trivial ca revient a se demander si tu prends A et B deux points de ton espace affine este ce qu'il invite un vecteur x tel que x+A=B

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:21

Mais \Large \Large%20f_x(g)=h \leftrightarrow g.x=h non ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:22

Oui...c'est d'ailleur ce que j'ai ecrit avec ton x=mon A ton h=mon B et ton g =mon x

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:23

Mais le . et le + c'est différent non ?!

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:24

Dans la définition d'une application d'orbite de x, \Large f_x : G \to X \\\,\,\, g \to g.x , le . c'est un produit, un vrai produit ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:26

Pas du tout!! C'est juste l'action.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:30

le . c'est donc celui qui intervient dans le groupe (G,.) (ie la loi) ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:33

Non plus c'est juste la notation de l'action.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:35

La noter \Large f_x : G \to X \\\,\,\, g \to g.x ou \Large f_x : G \to X \\\,\,\, g \to g+x ou \Large f_x : G \to X \\\,\,\, g \to gTx, c'est la même chose ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:42

Bon en général quand on a une cation de groupe de G sur un ensemble S on la note par un point, g.s c'est l'action de g sur s.

Maintenant si G et S sont des ensembles specifiques, alors on a des notations particulières pour l'action.

Par exemple si G=GL(V), alors G agit sur V par g.v=g(v). G agit aussi sur l''ensemble des sous espaces de V par g.F=g(F), il a agit aussi sur End(V) par g.f=gof.

Est ce que ca t'eclaire?
ici on définit l'action de H(ton esapce vectoriel) sur A(ton esapce affine) par h.a=h+a.

il ne reste plus qu'a montrer que cette action est fidèle et transitive.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:44

Ok.

Par contre, toujours dans cette définition, le \Large x il vit dans \Large X ? Toujours ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:46

Oui

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:48

Donc en fait, le "au moyen de ..." c'est pour spécialiser l'action . par + (un vrai +) ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:49

Oui c'est ce que je te disais on définit l'action...

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 16:52

Ok, je vois mieux.

Donc \Large \mathcal{E}=H+b.

Quel lien y'a-t-il entre \Large%20f_x%20:%20H%20\to%20\mathcal{E}%20\\\,\,\,%20g%20\to%20g.x et \Large \varphi : H\times \mathcal{E} \to \mathcal{E} \\ (\vec{u},M) \to \vec{u}+M ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 16:54

Ben dans un cas tu regarde l'action restreinte a une orbite, dans l'autre cas l'action sur tout l'espace, il n'y a pas de différence ici, car l'action est transitive.

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 17:07

Ok, bien reçu.

Maintenant, comment je fais pour montrer que le groupe \Large H opère de façon simplement transitive sur \Large \mathcal{E} via \Large \varphi ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 17:11

Citation :
ca revient a se demander si tu prends A et B deux points de ton espace affine este ce qu'il invite un vecteur x tel que x+A=B

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 17:12

Heu...invite c'est existe...

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 17:16

C'est ça que je saisi toujours pas!

Si on me dit : montrer H opère sur l'ensemble \Large\mathcal{E} de façon simplement transitive, je sais quoi faire! Je regarde si l'application \Large%20f_x%20:%20H%20\to%20\mathcal{E}%20\\\,\,\,%20g%20\to%20g.x est bijective.

Maintenant, si on me dit : montrer H opère sur l'ensemble \Large\mathcal{E} de façon simplement transitive au moyen de \Large \varphi, je ne sais pas quoi faire!!

Posté par
Rodrigo
re : Espace affine 13-02-09 à 17:19

Mais c'est exactement la meme chose c'est comme si tu disais "si on me demande de calculer 2+2 ca je sais faire, mais si on me demande de calculer 2+2 sachant que + représente l'addition, la je ne sais plus quoi faire."

Posté par
H_aldnoer
re : Espace affine 13-02-09 à 17:21

Donc ça signifie qu'il suffit de regarder si l'application \Large \varphi : H\times \mathcal{E} \to \mathcal{E} \\ (P,Q) \to P+Q  est bijective ?

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