Bonsoir mes chers internautes de l'île ! J'ai un nouveau problème d'algèbre sur les bras :
Prouver que l'ensemble des suites ()n d'éléments de telles que Sup (n1) existe , muni des lois usuelles d'addition et de multiplication externe , est un espace vectoriel .
(Les I signifient la valeur absolue dans la racine)
Vous avez des pistes ?
Bonsoir.
L'ensemble des suites complexes est un C-espace vectoriel.
Prouve que le sous-ensemble S de celles qui te concernent forme un sous espace de .
Pour cela :
1°) S non vide (la suite nulle)
2°) Si u est dans S, alors, .u est dans S
3°) Si u et v sont dans S, alors, u+v est dans S.
Le plus dur est de prouver que si Un et Vn appartiennt à S alors Un+Vn appartient à S Or cela vient du fait que |Un+Vn|1/n|Un|1/n+|Vn|1/n.
Pour le prouver, on utilise d'abord l'inégalité triangulaire sur la première expression et on observe ensuite que [(|Un|+|Vn|)1/n]]n(|Un|1/n+|Vn|1/n)n....
Et le tour est joué car la puissance n est croissante !
Désolé amauryxiv2 , on dirait que j'ai parlé trop vite hier : je n'arrive pas à justifier ton "on observe que" . Pourrais-tu me l'expliquer ?
Bonsoir,
L'inégalité indiquée n'est que le binome de Newton qui assure (a+b)^n>=a^n+b^n pour a et b positifs.
Prend la racine n-ième pour obtenir le résultat.
Bonsoir à vous , habitants de l'île des maths ! Désolé de revenir sur un sujet clos mais je n'arrive pas à montrer que le terme .u appartient à S où . Quelqu'un a une idée ?
(A un moment , j'ai un problème de majoration)
Est-ce que ça suffit pour justifier que ce terme appartient à S?Faut-il trouver un majorant ou pas ?
Ecartons les cas triviaux = 0 et = 1.
Je pose ln(||) = a. a est donc un réel non nul bien défini.
Je dois chercher un majorant de :
Bien entendu, je suppose n 1.
Etudions la fonction f définie pour x 1 par :
La dérivée est :
1°) a > 0. Alors, f décroissante et le max est obtenu pour x = 1
2°) a < 0. Alors, f croissante et le sup est la limite en +
Je te laisse chercher les deux sup.
Merci bien raymond ! Je n'arrivais plus à respirer à cause de ce problème , je calcule les sup tout de suite ! Tchao , merci encore !
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