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Niveau Maths sup
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Espace vectoriel et suite

Posté par
med112
15-03-09 à 19:47

Bonsoir mes chers internautes de l'île ! J'ai un nouveau problème d'algèbre sur les bras :
Prouver que l'ensemble des suites (u_n)n d'éléments de telles que Sup \sqrt[n]{Iu_nI}} (n1) existe , muni des lois usuelles d'addition et de multiplication externe , est un espace vectoriel .
(Les I signifient la valeur absolue dans la racine)

Vous avez des pistes ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Espace vectoriel et suite 15-03-09 à 20:02

Bonsoir.

L'ensemble des suites complexes est un C-espace vectoriel.

Prouve que le sous-ensemble S de celles qui te concernent forme un sous espace de .

Pour cela :

1°) S non vide (la suite nulle)

2°) Si u est dans S, alors, .u est dans S

3°) Si u et v sont dans S, alors, u+v est dans S.

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 15-03-09 à 20:19

Merci raymond , je me lance ! A+

Posté par
raymond Correcteur
re : Espace vectoriel et suite 15-03-09 à 20:40

Bon courage et bonne soirée.

Posté par
amauryxiv2
re : Espace vectoriel et suite 15-03-09 à 23:07

Le plus dur est de prouver que si Un et Vn appartiennt à S alors Un+Vn appartient à S Or cela vient du fait que |Un+Vn|1/n|Un|1/n+|Vn|1/n.
Pour le prouver, on utilise d'abord l'inégalité triangulaire sur la première expression et on observe ensuite que [(|Un|+|Vn|)1/n]]n(|Un|1/n+|Vn|1/n)n....

Et le tour est joué car la puissance n est croissante !

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 15-03-09 à 23:47

Merci amauryxiv2 ! Tu m'enlèves une épine "de la main" ^^ .

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 16-03-09 à 17:05

Désolé amauryxiv2 , on dirait que j'ai parlé trop vite hier : je n'arrive pas à justifier ton "on observe que" . Pourrais-tu me l'expliquer ?

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 16-03-09 à 17:58

Personne d'autre ?

Posté par
Rodrigo
re : Espace vectoriel et suite 16-03-09 à 18:21

Bonsoir,
L'inégalité indiquée n'est que le binome de Newton qui assure (a+b)^n>=a^n+b^n pour a et b positifs.
Prend la racine n-ième pour obtenir le résultat.

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 16-03-09 à 20:34

Oh!Thank you Rodrigo ;D !

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 19:23

Bonsoir à vous , habitants de l'île des maths ! Désolé de revenir sur un sujet clos mais je n'arrive pas à montrer que le terme .u appartient à S où . Quelqu'un a une idée ?
(A un moment , j'ai un problème de majoration)

Posté par
raymond Correcteur
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 19:26

3$\textrm \sqrt[n]{|\lambda u_n|} = \sqrt[n]{|\lambda|}\times\sqrt[n]{|u_n|}

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 19:33

Est-ce que ça suffit pour justifier que ce terme appartient à S?Faut-il trouver un majorant ou pas ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 19:55

Le premier terme est : 2$\textrm \exp(\fra{1}{n}ln(|\lambda|), le second est borné par hypothèse.

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 20:24

Oui mais ce premier terme s'exprime avec "n" , il nous faut trouver un majorant de celui-ci , non ?

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 21:26

Tu ne penses pas raymond ? Tu as une idée ? Ou quelqu'un d'autre peut-être ?

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 21:54

Non , personne ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 22:02

Etudie la fonction x ---> exp( 3$\fra{1}{x}.ln(|\lambda|))

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 22:15

D'accord , il faut donc que je fasse des cas selon le module de lambda . C'est ça raymond ?

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 22:17

Mais alors est-ce que je dois majorer pas module de lambda ?

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 22:39

Alors ?

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 22:58

Quelqu'un a une idée ?

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 18-03-09 à 23:15

Toujours pas ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Espace vectoriel et suite 19-03-09 à 10:10

Ecartons les cas triviaux = 0 et = 1.

Je pose ln(||) = a. a est donc un réel non nul bien défini.

Je dois chercher un majorant de :

2$\textrm\sqrt[n]{|\lambda|} = \exp(\fra{1}{n}ln(|\lambda|) = \exp(\fra{a}{n})

Bien entendu, je suppose n 1.

Etudions la fonction f définie pour x 1 par :

2$\textrm f(x) = \exp(\fra{a}{x})

La dérivée est : 2$\textrm f^'(x) = \fra{-a}{x^2}\exp(\fra{a}{x})

1°) a > 0. Alors, f décroissante et le max est obtenu pour x = 1

2°) a < 0. Alors, f croissante et le sup est la limite en +

Je te laisse chercher les deux sup.

Posté par
med112
re : Espace vectoriel et suite 19-03-09 à 16:17

Merci bien raymond ! Je n'arrivais plus à respirer à cause de ce problème , je calcule les sup tout de suite ! Tchao , merci encore !

Posté par
raymond Correcteur
re : Espace vectoriel et suite 19-03-09 à 16:44

Bonne soirée.



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