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Niveau Maths sup
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Espace vectoriel, géométrie

Posté par
olive10
18-01-09 à 13:39

Bonjour,

Soit a. On considère le système (S)

                                       x - 3ay - z = 0
                                      ax +   y + z = 0
                                            2y + z = 0
Soit F = u=(x,y,z) 3/ (x,y,z) solution de (S).

1) Montrer que F est un sev de 3

Pas de problème pour cette question

2)Déterminer les valeurs de a pour lesquelles F= (0)

Pour cette question je bloque un peu, je pense qu'il faut trouver les valeurs de a pour lesquelles le système S n'admet pour unique solution que x=y=z=0, mais je n'arrive pas à traduire mathématiquement pour trouver a.

3) Montrer que si a=1, alors F est une droite vectorielle dont on déterminera une base.

OK pour cette question.

4) Soit e1=(1,1,-2) e2=(1,-1,0)  e3=(1,0,0)

a) Montrer que (e1,e2) est une base du plan P1 d'équation: x+y+z=0  et que (e1,e3) est une base de P2 d'équation: 2y+z=0

Pour cette question j'aurai besoin d'aide svp, je n'arrive pas à savoir comment procéder.

Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Espace vectoriel, géométrie 18-01-09 à 14:00

Bonjour

Si tu connais les déterminants, le système a pour seule solution (0,0,0) si et seulement si son déterminant est non nul.

Si tu ne connais pas, on résout:

En éliminant z on a (1+a)x+(1-3a)y=0 et ax-y=0. Donc y=ax et la première équation devient (-3a2+2a+1)x=0 ce qui te permet de trouver les conditions.

4) Je ne vois pas le rapport avec ce qui précède, mais tu vérifies que (e_1,e_2) est une famille libre du plan d'équation x+y+z=0 (c'est presque évident).

Posté par
olive10
re : Espace vectoriel, géométrie 18-01-09 à 14:09

ah c'est tout pour la 4) lool merci^^

Posté par
olive10
re : Espace vectoriel, géométrie 18-01-09 à 14:35

Pour la question 4) on a:   e1=(1,1,-2)   e2=(1,-1,0)

montrer que (e1,e2) est libre:

, K tel que,  e1+e2=0
                                                                                      +-2+-=0

Donc (e1,e2) est libre, et (e1,e2) est une base de P1: x+y+z=0

Pourriez vous corriger mes éventuelles erreurs svp, merci.
                                                                                      

Posté par
Camélia Correcteur
re : Espace vectoriel, géométrie 18-01-09 à 14:48

Ce n'est pas tout à fait ça!

Supposons que \lambda et \mu sont tels que \lambda e_1+\mu e_2=\lambda\(1\\ 1\\ -2\)+\mu\(1\\ -1\\ 0\)=0 Alors

\{\begin{array}{r}\lambda+\mu=0\\ \lambda-\mu=0\\ -2\lambda=0\end{array}

d'où on déduit que \lambda=\mu=0

Il faut aussi vérifier que les deux vecteurs sont dans le plan d'équation x+y+z=0

Posté par
olive10
re : Espace vectoriel, géométrie 18-01-09 à 14:53

ok, merci pour ton aide^^

Posté par
olive10
re : Espace vectoriel, géométrie 18-01-09 à 15:10

Sinon quand on a la base et on doit déterminer le plan P, on procède comment? on essaye de trouver une équation pour laquelle les 2 vecteurs qui composent la base y appartiennent?

Posté par
olive10
re : Espace vectoriel, géométrie 18-01-09 à 15:14

J'ai peut etre trouvé: si on a (e2,e3) base de P, et  e2=(1,-1,0)  e3=(1,0,0) alors P: z=0



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