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Niveau Licence Maths 1e ann
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Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Posté par
Ollie
08-03-09 à 14:00

Bonjour,

Je rencontre des difficultés à résoudre certaines questions de mathématiques.
Si quelqu'un pouvait m'aiguiller je lui en serais très reconnaissante

1/ Soit : .
On dira que est de signe constant si ()+ ou )-.
Déterminer tous les sous-espaces vectoriels des fonctions de dans dont tous les éléments sont de signe constant.

Je vois à peu près l'idée mais je ne sais pas trop comment rédiger l'explication.

2/ ², muni des lois internes et externes suivantes est-il un espace vectoriel?
Le premier cas à démontrer est :
(i) (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); (a,b)=(a,b), .

J'ai trois autres cas que je pense pouvoir traiter seule si quelqu'un me mettait sur la piste d'une méthode de rédaction.

3/ Dans le -espace vectoriel D={fF(,), f dérivable et f' continue}, on considère F={fD,f'(0)=f(0)=0}.

(i) Vérifier que c'est un sous-espace vectoriel de D. question traitée
(ii) Soient f1: 1 et f2=Id. Montrer que f1 et f2 sont linéairement indépendants. question traitée

(iii) Montrer que F + Vect(f1,f2) = D. La somme est-elle directe ?

Je bloque sur cette dernière question. Nous avons encore fait peu d'exemples pratiques sur les sommes directes. Si quelqu'un pouvait donc m'expliquer :/

Merci d'avance,
Olivia

Posté par
perroquet
re : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 08-03-09 à 14:32

Bonjour, Olivia.

Pour la première question

C'est un exercice difficile. Il s'agit de montrer que de tels sous-espaces vectoriels sont obligatoirement de dimension 1.

Pour la deuxième question

Là, c'est plus facile.
R² n'est pas un espace vectoriel pour les deux lois données, il est faux que
(\lambda +\mu) (a,b) = \lambda (a,b) +\mu (a,b)

Pour la troisième question

Le plus facile est de démontrer d'abord que la somme est directe. Pour montrer que la somme est égale à tout l'espace, il suffit d'écrire f sous la forme
f=g+h
avec   h(x)=f(0) + f'(0) x   donc dans  Vect(f1,f2)
         g=f-h         dont on peut démontrer qu'il appartient à F

Posté par
Ollie
re : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 08-03-09 à 15:03

Merci d'avoir pris la peine de répondre

Je vois mieux à présent comment traiter les questions 2 et 3.

Je bloque toujours cependant sur la question 1, je ne sais pas comment démontrer que ces sous-espaces sont obligatoirement de dimension 1. Serait-il possible de me mettre sur une piste de rédaction ?

Encore merci.

Posté par
perroquet
re : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 08-03-09 à 15:13

Supposons qu'il y ait un tel espace E de dimension supérieure ou égale à 2.
E contient donc une fonction f non nulle.
Il existe x tel que f(x) est non nul.
Soit g un élément de E tel que (f,g) est libre. Cela signifie en particulier que 3$ g -\frac{g(x)}{f(x)}f est non nulle. Il existe donc y tel que
3$ g(y)-\frac{g(x)}{f(x)}f(y) \neq 0

Il existe alors   (\lambda,\mu)\in{\mathbb R}^2  tel que
\lambda f(x)+\mu g(x)=1        \lambda f(y)+\mu g(y)=-1       (la résolution de ce système est facile à faire)

Et la fonction  \lambda f+\mu g  est un élément de E qui ne garde pas un signe constant ...

Posté par
Ollie
re : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 08-03-09 à 22:05

Je comprends beaucoup mieux. Merci beaucoup de ton aide



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