Bonjour,
Je rencontre des difficultés à résoudre certaines questions de mathématiques.
Si quelqu'un pouvait m'aiguiller je lui en serais très reconnaissante
1/ Soit : .
On dira que est de signe constant si ()+ ou )-.
Déterminer tous les sous-espaces vectoriels des fonctions de dans dont tous les éléments sont de signe constant.
Je vois à peu près l'idée mais je ne sais pas trop comment rédiger l'explication.
2/ ², muni des lois internes et externes suivantes est-il un espace vectoriel?
Le premier cas à démontrer est :
(i) (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); (a,b)=(a,b), .
J'ai trois autres cas que je pense pouvoir traiter seule si quelqu'un me mettait sur la piste d'une méthode de rédaction.
3/ Dans le -espace vectoriel D={fF(,), f dérivable et f' continue}, on considère F={fD,f'(0)=f(0)=0}.
(i) Vérifier que c'est un sous-espace vectoriel de D. question traitée
(ii) Soient f1: 1 et f2=Id. Montrer que f1 et f2 sont linéairement indépendants. question traitée
(iii) Montrer que F + Vect(f1,f2) = D. La somme est-elle directe ?
Je bloque sur cette dernière question. Nous avons encore fait peu d'exemples pratiques sur les sommes directes. Si quelqu'un pouvait donc m'expliquer :/
Merci d'avance,
Olivia
Bonjour, Olivia.
Pour la première question
C'est un exercice difficile. Il s'agit de montrer que de tels sous-espaces vectoriels sont obligatoirement de dimension 1.
Pour la deuxième question
Là, c'est plus facile.
R² n'est pas un espace vectoriel pour les deux lois données, il est faux que
Pour la troisième question
Le plus facile est de démontrer d'abord que la somme est directe. Pour montrer que la somme est égale à tout l'espace, il suffit d'écrire f sous la forme
f=g+h
avec h(x)=f(0) + f'(0) x donc dans Vect(f1,f2)
g=f-h dont on peut démontrer qu'il appartient à F
Merci d'avoir pris la peine de répondre
Je vois mieux à présent comment traiter les questions 2 et 3.
Je bloque toujours cependant sur la question 1, je ne sais pas comment démontrer que ces sous-espaces sont obligatoirement de dimension 1. Serait-il possible de me mettre sur une piste de rédaction ?
Encore merci.
Supposons qu'il y ait un tel espace E de dimension supérieure ou égale à 2.
E contient donc une fonction f non nulle.
Il existe x tel que f(x) est non nul.
Soit g un élément de E tel que (f,g) est libre. Cela signifie en particulier que est non nulle. Il existe donc y tel que
Il existe alors tel que
(la résolution de ce système est facile à faire)
Et la fonction est un élément de E qui ne garde pas un signe constant ...
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