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etude d'un groupe : résolution de l'equation de pell fermat.
Bonjour/Bonsoir =)
Voilà j'ai un travail à effectué et je bloque a une question. Le sujet est le suivant.
On veut trouver toutes les solutions de l'équation x²-y²
5=1.
Pour ce faire on étudie l'anneau E=Z[5]. (donc x = a+b5 avec a,b entier relatif.)
On pose N(x)=a²-5b².
On a monter que l'ensemble des éléments inversibles de E tel que N(x)=1 sont de la forme :
a-b5. on note G l'ensemble qui regroupe tous ces éléments.
On a montrer que G est un groupe.
Voila alors maintenant on passe à l'étude de G ( qui bien évidemment contient les solutions recherchées).
Soit x
G
]1,+
[. (x est toujours de la forme a+b5).
On a montrer que a>0 et b>0.
Maintenant , on veut monter que l'élément x0=a0+b05 ( solution fondamentale ) est le plus petit élément de G]1,+[ pour l'ordre naturel sur 
.
Voilà ,cette question me pose de gros problème je ne vois pas du tout d'où partir . Je peux connaître a0 et b0 via un exercice préliminaire mais même sans les connaitre pourriez vous m'indiquez la voie à suivre ou une indice quelconque qui puisse m'aider ?
ton énoncé est illisible il y a le signe racine carré qui se fout n'importe où et les chiffres qui se mélangent. si tu as l'énoncé en scanné tu me l'envoies par mail et je vois ce que je peux faire.
Pour montrer que x0=a0+b05 est le plus petit élément de G
]1,+[, il faut montrer que x0 minore cet ensemble et que x0 fait partie de cet ensemble.
Tu as 1 = a²-5b². Utilise cette relation.
Tu sais que a>0 et que b>0. Mais est-ce que a = 1 est possible? Et pour d'autres valeurs?
C'est bon j'ai trouver la réponse .
a=1 est impossible dans le cadre de l'étude car ça implique que b=0 ce qui n'est pas.
J'ai étudié la fonction f:b-->(1+5b²) et j'ai monter que cette fonction était croissante ( et bijective) .
Puis j'ai calculer f(1),f(2),f(3),f(4) . Lorsque f(b)
, cela donne la valeur de a te lqeu x=a+b5 soti solution.
Comme f est croissante , la première valeur entière atteinte par f(b) ( pour y entier) est la plus petite valeur de a possible ( sur [1,+[ et donc l'élément x=a+b5 est le plus petit.
et j'ai trouver que c'était le cas pour b=4 ( et on trouve a = 9 ce qui marche car 81-5*16=81-80=1 ).
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