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etude d'une fonction trigonometrique

Posté par
gypsy67
04-10-10 à 08:03

on considere la fonction f définie sur par:
f(x)= cos(2x)-2cos(x)

1.a. Etudier la parité et la périodictité de f.
  b. <en déduire qu'on peut étudier f sur l'intervalle [0;] et obtenir la courbe Cf à l'aide de transformations à préciser.
2.a. montrer que f est dérivable et que, pour tout x , on a:
f'(x)= 2sin(x)(1-2cos(x))
  b. Etudier le signe de f' et en déduire les variations de f puis dresser le tableau de variation de f.
3. Tracer Cf dans un repere orthogonal en faisant aparaître d'éventuelles tangentes remarquables.

Posté par
ludog
re : etude d'une fonction trigonometrique 04-10-10 à 11:21

bonjour !

quelles sont les questions traitées ? ou veux tu de l'aide ?

Posté par
gypsy67
re : etude d'une fonction trigonometrique 05-10-10 à 10:20

bonjour, excusez moi de cette impolitesse.
en effet j'aurais besoin d'aide pour etudier la parité et le périodicité de f.
cordialement

Posté par
ludog
re : etude d'une fonction trigonometrique 05-10-10 à 12:08

parité :
la fonction cosinus est paire : cos(-a)= cos(a).
pour connaitre la parité de f pose f(-x), utilise la parité de cos, et regarde si tu trouves f(x) ( paire), -f(x) (impaire) ou quelconque.

périodicité:
il faut trouver le plus petit réel non nul T tel que f(x+T)=f(x), T sera la période.
on sait que cosinus est 2 périodique car cos(x+2)=cosx pour tout x.

tu peux essayer de poser f(x+2) pour voir si tu retrouves f(x).
si oui il y a peut être une pèriode plus petite ( en général une fraction de 2). Pour t'aider tu peux tracer la courbe et voir si la période est 2, ou plus petite, ou plus grande.

Posté par
gypsy67
re : etude d'une fonction trigonometrique 05-10-10 à 12:29

voila se ue je trouve alors pour la parité:

Montrons que pour la fonction définie sur par f:xcos(2x)-2cos(x) est paire:

Pour tout réels x:
f(-x)= cos(-2x)-2cos(-x)
or cosinus est une fonction paire donc,
cos(x)=cos(-x) et cos(2x)=cos(-2x)

f(-x)=cos(2x)-2cos(x)

Pour tout réel x; f(-x)=f(x), la fonction est donc paire

cela est il possible, enfin pour moi ca me parait juste j'ai essayer de voir pour f(x)=-f(x) et sa ne marche pas
cordialement gypsy67

Posté par
gypsy67
re : etude d'une fonction trigonometrique 05-10-10 à 12:45

et voila pour la périodicité:

Montrons que la fonction f est périodique:

Df= et pour tout xDf:

f(x+2)=cos(2(x+2))-2cos(x+2)
                   =cos(2x+4)-2cos(x)
                   =cos(2x)-2cos(x)

car la fonction cosinus étant 2-périodique, elle vérifie que cos(2x+4)=cos(2x) ert également cos(x+2)=cos(x)

conclusion: La fonction f est  2-périodique

Posté par
gypsy67
re : etude d'une fonction trigonometrique 05-10-10 à 12:50

maintenant pour la 1.b j'ai reussi a en déduire qu'on peut étudier la fonction sur [0;] mais je ne vois pas quel transformation doit subir la fonction pour obtenir la courbe Cf

Posté par
ludog
re : etude d'une fonction trigonometrique 05-10-10 à 14:53

1. a) c'est parfait.

1) b) f est paire donc sa courbe Cf a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.
      donc on complète la courbe sur [-;0] par symétrie axiale d'axe...

      f est 2-périodique, donc on complète la courbe sur par translations successives de vecteur (2;0) ou -.

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