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Etude d'une somme
Bonjour,cela peut paraître bizarre mais j'ai beaucoup de difficultés avec ce premier exercice de dm!
Je demande donc quelques petits indices pour me débloquer ..
Soit p /{0} L'objectif de l'exercice est d'étudier la limite lorsque n tend vers + de la somme:
Sn= de k=n à np sh(1/k)
1) a)Resoudre l'équation 2sh(x)+1=0 .On désignera par alpha l'unique solution.
b)Soit f la fonction définie sur par: f(x)=ch(x)² +sh(x). Déterminer une expression simple de f(alpha)
c)Etudier les variations de f et en déduire que , pour tout x réel, f(x)est supérieur ou égal à 0
2) Soit g la fonction définie sur ]-1;1[ par g(x)=exp(sh(x))-x-1. Étudier les variations de g (on pourra,si besoin calculer la dérivée g'' de g)
3)Prouvez l'inégalité:x appartenant à [0;1[, 1+x ≤ exp(sh(x)) ≤ 1/(1-x)
4)En déduire que,pour n ≥ 2, on a:ln((pn+1)/n)≤ Sn ≤ -ln((n-1)/pn)
5)Calculer la limite de Sn en+
Merci de votre aide
1] a] Résolution de l'équation :
2sh(x)+1=0 ⟺ ex - e-x +1 = 0 ⟺ (ex)2 + ex - 1 = 0
On pose X = ex, on résout l'équation X2 + X - 1 = 0. Cette équation possède deux solutions distinctes (√5 - 1)/2 et (-√5-1)/2 de signes contraires. Seule la solution strictement positive est à retenir :
2sh(x)+1=0 ⟺ ex = (√5 - 1)/2 ⟺ x = ln [ (√5 - 1)/2 ]
b] Valeur de f(a)
On sait que que 2sh(a)+1=0 donc sh(a) = -1/2
Dès lors :
f(a) = ch2(a) + sh(a) = 1 + sh2(a) + sh(a) = 1 + 1/4 - 1/2 = 3/4
c] Sens de variation de f
f est dérivable sur IR. Pour tout x réel :
f ' (x) = 2 sh(x) ch(x) + ch(x) = ch(x) [ 2 sh(x) + 1 ]
Signe de f '(x) :
ch(x) est strictement positif donc f '(x) a le même signe que 2 sh(x) + 1
∎ On a vu que 2 sh(x) + 1 = 0 ⟺ x = a
∎ sh est strictement croissante sur IR, on a donc :
2 sh(x) + 1 >0 ⟺ sh(x) > -1/2 ⟺ sh(x) > sh(a) ⟺ x > a
On en déduit que :
f '(x) s'annule en a
f '(x) est strictement positive sur ]a ; + ∞[
f '(x) est strictement négative sur ]-∞ ; a[
Il en résulte que f est strictement décroissante sur ]-∞ ; a] et strictement croissante sur [a ; + ∞[
Signe de f(x)
D'après l'étude des variations de f, f possède un minimum qui vaut : f(a)= 3/4. Ce minimum étant strictement positif, on en déduit que f est une fonction strictement positive sur IR
Voilà pour le début !
Tout d'abord merci pour vos réponses , et désolé du retard de ma réponse (soucis d'ordinateur)
donc au début je ne comprenais pas pourquoi on posait X=exp(x)
mais en fait je viens de voir que j'avais le bon raisonnement
jusqu'à exp(x)-exp(-x) -1 =0
mais la je ne comprends pas comment on se retrouve avec un exp(x)² ?
Sinon encore merci à vous 2
je vais reprendre çà et essayer de faire la suite ce soir 
J'ai multiplié les deux membres de l'équation par ex (qui est non nul).
2sh(x)+1=0 ⟺ ex - e-x +1 = 0 ⟺ ex × ex - e-x × ex +1 × ex = 0 × ex
Puis :
ex × ex = (ex)2
e-x × ex = e-x+x = e0 = 1
heureusement que iciparisonzieme est là !! Que ferez l'
sans lui ?? 
Une chose m'échappe: quel est ton intérêt à résoudre les exercices des internautes ? te rassurer sur le fait que t'es capable de les résoudre ?? Sache que tout le monde s'en fou !! essaye d'être plus subtile et pédagogue dans tes interventions...
if you give a man a fish you feed him for a day, while if you teach him to fish you feed him for life
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