Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Etude de deux suites

Posté par
NeyJR 24-02-16 à 18:40

Bonjour il me reste un exercice à faire pour mon dm mais je n'y arrive pas:

Voilà l'énoncé:

On considère les suites (an) et (bn) définies par:

\left\lbrace\begin{matrix}a_{n+1} = \frac{2a_{n} + 3 b_{n}}{5} & \\ a_{0} = 1 & \end{matrix}\right.

et

\left\lbrace\begin{matrix} b_{n+1 = \frac{3 a_{n} + 2 b_{n}}{5}} & \\ & b_{0} = 2 \end{matrix}\right.

1- On considère la suite (cn) définie par cn = bn - an pour n . Démontrer que la suite (cn) est géométrique, convergente et déterminer sa limite.

2- Etudier le sens de variations de (an) et (bn).

3- Montrer que ces deux suites convergent vers la même limite que l'on notera l.

4- Calculer an + bn pour tout n. En déduire la valeur de l.


Je bloque à la question 1, il faut la mettre sous la forme d'un facteur pour qu'elle soit géométrique non ?

Merci

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:01

Pour la 1) j'ai trouvé qu'une suite geometrique s'ecrit de la forme: un+1 = q × un

Ici je peux développer cn+1 = (an - bn) / 5 = (an - bn) × (1/5)

Le problème c'est que cn c'est bn - an et non an - bn...

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:04

salut

peut-être faudrait-il lire l'énoncé ::

Citation :
1- On considère la suite (cn) définie par cn = bn - an


...

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:04

ensuite a - b = - (b - a) ....

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:09

J'ai trouvé

Je multiplie le haut et le bas par -1 et je trouve que cn est géométrique de raison -1/5.

Du coup pour pour la suite de la question, on dit que la suitr converge vers 0 non ? Car la raison est comprise entre 0 et -1 ?

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:20

oui ...

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:20

Si je dis:

La raison q=-1/5 est comprise entre 0 et -1 donc la suite est convergente et sa limite est 0.

C'est bon où il faut justifier ?

Merci

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:20

D'accord merci, pas besoin de justifications donc ?

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:22

ben tu as justifié !!!

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 19:34

D'accord :p

J'essaye de faire la 2 et je vous tiens au courant

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 20:26

Pour la 2) j'ai essayé d'étudier ( an+1 / an ) et ( an+1 - an ) mais je tombe sur des trucs en fonction de bn et an du coup je peux pas savoir... Vous savez comment faire ?

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 24-02-16 à 20:43

salut

il faut faire une récurrence en supposant/montrant que a_n < b_n


il faut donc montrer par récurrence que a_0 < a_1 < ... < a_n < a_{n + 1} < ... < b_{n + 1} < b_n < ... < b_1 < b_0

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 21:26

Salut

Je comprends pas comment on peut etudier le sens de variation des suites en faisant ça ?

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 24-02-16 à 21:28

Mais ce que tu dis ça revient à montrer que  cn > 0 car cn = bn - an ?

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 24-02-16 à 23:11

tout à fait

tu montres en une seule récurrence :

1/ a_n \le b_n

2/ a_n \le a_{n + 1}

3/ b_{n + 1} \le b_n

tu peux évidemment montrer 1/ par récurrence

puis ensuite 2/ et 3/ par récurrence .... mais on peut faire un pack toutenun ...

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 25-02-16 à 10:54

D'accord merci donc si j'arrive à montrer ça j'aurais donc que bn est décroissante et an est croissante ?

Posté par
verdurinre : Etude de deux suites 25-02-16 à 11:39

Bonjour,
je me permet une remarque :

b_n-a_n=\dfrac{(-1)^n}{5^n}

Donc la proposition :
\forall n\in \N\ :\ b_n\ge a_n
est fausse.

Et il suffit de calculer les premiers termes pour voir que les suites (a_n) et (b_n) ne sont pas monotones.

Mais l'énoncé est peut-être

\begin{cases}a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2b_n}{5}& a_0=1 \\ \\b_{n+1}=\dfrac{2a_n+3b_n}5 & b_0=2\end{cases}

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 25-02-16 à 12:43

Bonjour, non l'énoncé est bien celui que j'ai posté je viens de vérifier ^^

Et oui pour ce qu'a dit carpediem y a un soucis j'ai essayé de faire la récurrence pour montrer que an+1 an mais ça n'a pas aboutit et j'ai calculé les premiers termes la suite à l'air décroissante:
a0 = 1
a1 = 8/5 = 1,6
a2 = 1,48

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 25-02-16 à 12:46

Mais si je fais une recurrence pour montrer que an est decroissante ça va pas marcher à l'initialisation parce que a0 < a1

Du coup comment faire ?

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 25-02-16 à 17:08

effectivement ...

1/ (a_n) et (b_n) sont positives ...

2/ a_{n + 1} - a_n = - \dfrac 3 5 (a_n - b_n)  et  b_{n + 1} - b_n = \dfrac 3 5 (a_n - b_n)

et la remarque de verdurin permet alors de conclure ....

Posté par
verdurinre : Etude de deux suites 25-02-16 à 17:55

Salut cueilleur de jour.
J'eus l'impression qu'à un moment tu basculas de l'énoncé de NeyJR vers celui que j'ai donné plus haut.
Raison pour la quelle je me permis d'intervenir.

@NeyJR

On peut montrer, mais je doute qu'on te le demande, que :

  -- la suite (a_{2n})_{n\in\N} est croissante

  -- la suite (a_{2n+1})_{n\in\N} est décroissante

  -- la suite (b_{2n})_{n\in\N} est décroissante

  -- la suite (b_{2n+1})_{n\in\N} est croissante

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 25-02-16 à 17:59

salut verdurin : oui exactement on peut étudier les sous-suites "de deux en deux" ....

Citation :
et la remarque de verdurin permet alors de conclure ....
...suivant la parité de n ....

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 25-02-16 à 19:56

Bonsoir

J'ai pas trop compris ce que je dois faire, j'ai réussit à montrer par recurrence que an et bn sont strictement croissantes

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 25-02-16 à 19:56

Strictement positives pardon** pas croissantes

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 25-02-16 à 20:00

bon ça c'est trivial ....

les posts de 11h39 et 17h08 montrent qu'il n'y a pas monotonie des suites (a_n) et (b_n) .... mais des sous-suites dont parle verdurin à 17h55 .....

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 25-02-16 à 20:23

Pour les sous suites j'ai pas trop compris on en a à peine parlé en cours ^^

Posté par
verdurinre : Etude de deux suites 25-02-16 à 20:26

On ne te demande pas explicitement d'étudier les sous-suites.
Il suffit que tu dises que les suites ne sont pas monotones, par exemple en donnant les trois premiers termes de chacune d'elles.

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 26-02-16 à 00:07

D'accord merci

Pour la 3 je dois calculer la limite ? Ça semble tendre vers 0 mais comme le démontrer ?

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 26-02-16 à 19:30

NeyJR @ 26-02-2016 à 00:07

D'accord merci

Pour la 3 je dois calculer la limite ? Ça semble tendre vers 0 mais comme le démontrer ?


qui est ce ça ?

te demande-ton le calcul de la limite ? (as-tu lu l'énoncé jusqu'au bout ?)

à nouveau la remarque de verdurin permet de conclure ....

Posté par
NeyJRre : Etude de deux suites 26-02-16 à 20:34

Ah donc je dis qu'on a que:

b_n-a_n=\dfrac{(-1)^n}{5^n}

Or (-1)n tend = 1 ou -1
et 5n tend vers +

Donc lim bn - an (n+) = 0

Du coup bn tend vers l, an tend vers l aussi et on a bien que l - l = 0

C'est bien ça non? Par contre c'est mal rédigé ^^

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 27-02-16 à 09:56

Citation :
Or (-1)n tend = 1 ou -1

ça ne veut rien dire ...

b_n - a_n = \dfrac{(-1)^n}{5^n} \left( \dfra {-1}5 \right)^n = q^n

et |q| < 1 donc .... si les deux suites convergent alors elles ont même limite ...

reste à montrer la partie en rouge ....

Posté par
carpediemre : Etude de deux suites 27-02-16 à 09:57

Citation :
Or (-1)n tend = 1 ou -1

ça ne veut rien dire ...

b_n - a_n = \dfrac{(-1)^n}{5^n} \left( \dfrac {-1}5 \right)^n = q^n

et |q| < 1 donc .... si les deux suites convergent alors elles ont même limite ...

reste à montrer la partie en rouge ....


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !