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étude de fonctions bac 2000
bonjour j'ai un DM a faire et j'ai quelques problèmes . Il correspond au sujet de bac 2000 !!
don j'ai reussi la parie A et presque la partie B !! Je n'arrive juste pas à calculer la limite de f3 en + l'infini pour completer mon tableau de variation !
et Pour la partie C je n'arrive pas les question 2) et 3) .
Si vous aviez quelques éléments de reponse à ces problemes ...
PARTIE B
On considère la fonction f3 définie sur [0, + infini[ , par f3 = x^3*e^-x² et on appelle C3 sa courbe représentative.
1) Montrer que pour tout réel x positif, f3'(x) a même signe que 3 - 2x².
En déduire le sens de variation de f3.
2) Déterminer les positions relatives de C1 et C3.
3) Tracer C3 dans le même repère que C1 (on admettra que C3 a la même asymptote que C1 en +infini)
PARTIE C
On désigne par n un entier naturel non nul et on considère la fonction fn définie
sur [0, +infini[ par fn = x^n*e^-x²
On note Cn la courbe représentative de fn dans le repère (0,i ,j )
1) Montrer que pour tout entier n ³ 1, fn admet un maximum pour
x = racine(n/2)
On note an ce maximum.
2) On appelle Sn le point de Cn d'abscisse .
Montrer que, pour tout n, Cn passe par S2.
Placer S1, S2, S3 sur la figure.
3) Soit la fonction g définie sur [0, + infini[ ,
par g(x) = exp[x/2(-1+ln(x/2))]
a) Etudier le sens de variation de g
b) Montrer que pour tout entier n superieur a 1, an = g(n)
En déduire que tout point Sn a une ordonnée supérieure à celle de S2.
Merci d'avance
Bonjour,
Pour la limite de f3, il faut que tu utilise la croissance comparé et la composition de limites.
tu sais que :
d'ou
par passage a l'inverse possible car expo ne s'annule jamais
or
d'ou ta limite par composition
pour la question 2 je n'ai pas tout compris dans la question j'ai l'impression qu'il manque une information: je te met en gras ou j'ai un probleme
"
2/ On appelle Sn le point de Cn d'abscisse ????.
Montrer que, pour tout n, Cn passe par S2.
Placer S1, S2, S3 sur la figure.
"
j'imagine que les points d'interrogations sont An confirme moi svp
Déjà merci à toi pour la réponse que tu as donnée sur la limite !
Et désolé pour l'info qui manque, c'est donc "d'abscisse racine(n/2)
voilà encore merci !!
Pour la question 2 :
Tu as S2 qui correspond au point de coordonnées (1,f2(1))
Soit S2 de coordonnées (1,1/e)
Il suffit donc que tu montre que fn(1)=1/e tout le temps et tu pourras conclure que pour tout n, Cn passe par S2.
La question 3/a/ tu dérives g tu étudie le signe de g' tu en déduis les variations de g
3/b/ pour t'aider j'aurais juste besoin que tu me confirme la fonction g:
où
merci beaucoup !! c'est en fait le sens de la question 2 que j'avais du mal à saisir !! Mais comment peux-tu prouver que pour tout n fn(1)=1/e ?
et sinon pour la 3-b c'est ta 2eme proposition.Mais le principe je l'avais trouvé c'est surtout pour vérifier mon résultat concernant la dérivé de la fonction car elle est pas simple !
ah, peux-tu me détailler ton calcul stp, parce que moi je ne trouve pas tout à fait ca:au lieu de 1/2 ln (x/2) je trouve 1/2(-1+ln x/2)+1
Je préférerai que ce soit toi qui me montre ton calcul cela serait plus pédagogique et te servirai plus car tu pourrais mieux comprendre ton erreur j'ai fais un vérification sur un programme de calcul formel il trouve la même chose que moi.
(1/2)*ln((x/2))*exp((x/2)*(-1+ln(x/2)))
oui tu as raison :
alors voilà déjà j'ai utilisé la formule des fonctions composées, donc on a la dérivé de l'exponentielle qui est égale à exp((x/2)*(-1+ln(x/2))) et il reste encore à dériver (x/2)*(-1+ln(x/2) qui est donc la dérivé d'un produit avec u(x)=x/2 et v(x)=-1+ln(x/2) d'où la dérivé de(x/2)*(-1+ln(x/2)=(-1+ln(x/2))+(x/2)*ln(2/x)
voilà je ne sais pas trop où est mon erreur mais je pense que j'ai un problème au niveau des logarithmes..
dérivé de(x/2)*(-1+ln(x/2)=(-1+ln(x/2))+(x/2)*ln(2/x) ce qui est faux est en gras la derivée de ln(x/2) est 1/x
en effet (ln(u(x)))'=u'(x)/u(x)
Pour (-1+ln(x/2)) tu as juste oublié le 1/2 qui vient de la derivation de x/2
ca te donne donc
((x/2)*(-1+ln(x/2))'=(1/2)(-1+ln(x/2))+(x/2)*(1/x)
=-(1/2)+(ln(x/2)/2)+(1/2)
=ln(x/2)/2
voila
ahh oui bien sur !! c'est en effet la formule de la dérivé de ln (u(x)) qui me manquait !!
merci beaucoup !! pour tout !
désolé mais pour la dernière question, prouver que Sn a toujours une ordonnée supérieure à S2, j'ai montré que Sn=alpha n=g(n) et donc sachant que S2 a pour ordonnée e-1, il faut montrer que g(n) est toujours supérieur à e-1 mais j'ai beaucoup de mal, peux-tu m'expliquer s'il te plait ??
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