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Étude des solutions d'un polynôme de second degré

Posté par
Bordan
11-12-16 à 12:24

Bonjour à tous,

Alors voilà le sujet qui me pose problème :

x^2 -10^8x + 1 =0

1)
a) Vérifier que le discriminant est positif
b) Quelles valeurs obtenons pour les racines ?

2)On remarque que l'équation est de la forme x^2 - Sx + P où S est la somme des racines et P le produit de celles-ci. Connaissant la plus grande racine, comment peut-on déduire la plus petite ?

3) Si l'on veut résoudre une équation de la forme ax^2 +bx + c =0, quel test de comparaison entre b^2 et le produit ac peut on ajouter à un algorithme pour améliorer la précision des solutions ?

La question 1 ne me pose pas de problème mais je bloque complètement sur les deux suivantes, merci si quelqu'un a la solution

Posté par
Glapion Moderateur
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:31

si on identifie x²-Sx+P=0 on en déduit que S = 10^8 et P = 1 OK ?

donc si tu as une des racines tu peux trouver facilement l'autre en faisant 1/x1 ou en faisant 10^8-x1

Posté par
fenamat84
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:32

Bonjour,

Les questions 1a et 1b) ne devraient pas trop te poser de problème...
C'est simplement une résolution d'équation du second degré classique...

Pour la 1b, que trouves-tu alors pour les racines ?

Posté par
fenamat84
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:33

Pour les questions suivantes, suis les conseils de Glapion... (que je salue au passage)

Posté par
Bordan
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:39

Alors pour la 1) , j'ai trouvé x1 = 0 et x2= 10^8
J'en suis pas trop sûr

Oui Glapion, j'ai plus ou moins compris

Posté par
fenamat84
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:42

Citation :
j'ai trouvé x1 = 0 et x2= 10^8


x2 ok.
Mais x1 = 0 ???

Recalcules mieux l'autre racine...

Posté par
Bordan
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:45

Peut-être que mon erreur vient du calcul, c'est bien (10^8-sqrt(10^8 - 4 ))/2 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:55

non 10^8 n'est pas non plus une des racines.

Posté par
fenamat84
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:57

Je viens de remarquer que x2 est faux aussi...
Comme quoi ne jamais se fier à la calculatrice et faire les calculs manuellement !

\Delta=10^{16}-4>0.

Et les solutions sont :

x_1=\frac{10^8+\sqrt{\Delta}}{2}
et
x_2=\frac{10^8-\sqrt{\Delta}}{2}

Certes avec une calculatrice, tu vois 10^8 et 0 mais c'est faux !! (car n'ayant une capacité maximale de 10 chiffres...)

Posté par
Bordan
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 12:59

En fait voilà ce que je me suis dis, l'exercice suit une structure logique -> question 1 : les racines trouvées avec les formules du cours sont imprécises question 2-> méthode alternative pour trouver les racines et question 3-> rédiger un algorithme pour obtenir les racines précises mais par contre ça implique d'avoir a moins une racine juste, du coup je suis perdu

Posté par
Glapion Moderateur
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 13:03

Citation :
les racines trouvées avec les formules du cours sont imprécises

ce sont les calculatrices qui sont imprécises, les formules du cours elles, sont parfaitement exactes.

Posté par
Bordan
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 13:06

Oui mais enfaite, la prof demande dans la 1 d'utiliser la calculatrice du coup je pense qu'elle attend qu'on dise que 0 et 10^8 sont des valeurs arrondies ?

Pour la question 2 j'ai écrit S = 10^8 et P = 1
d'où x2 =1/x1 ou x2= 10^8-x1

Est-ce que j'ai besoin de le justifier ?

Posté par
fenamat84
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 13:07

Comme le dit Glapion, ne jamais se fier à la précision des calculatrices... (imprécis dans le sens où le résultat dépasse les 10 chiffres)

Par contre les formules de cours sont exactes, d'où la nécessité de faire les calculs manuellement !!

Posté par
fenamat84
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 13:12

Citation :
Oui mais en fait, la prof demande dans la 1 d'utiliser la calculatrice du coup je pense qu'elle attend qu'on dise que 0 et 10^8 sont des valeurs arrondies ?


Dans ce cas, avec la calculatrice, je ne trouve néanmoins absolument pas 0 comme une solution !!! Ce qui est totalement absurde... (après cela dépend de ta marque de calculatrice...Texas ou Casio...)

En utilisant une Casio, je trouve plutôt les solutions : 10^8 et 10^-8. (qui certes ne sont que des valeurs approchées, et non les valeurs exactes...)

Posté par
Bordan
re : Étude des solutions d'un polynôme de second degré 11-12-16 à 13:52

Oui effectivement c'est pas 0 mais 10^-8

Mais alors, pour la question 2 comment doit-on justifier, est-ce qu'il y a une démonstration ou quelque chose ?

Et est-ce que savez écrire un algorithme qui test la comparaison entre b^2 et ac ??



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