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Niveau Licence Maths 1e ann
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Exemple d'exercice et matrice de passage

Posté par
emixam
01-06-09 à 14:02

Bonjour à tous,
J'ai un petit soucis avec les matrices de passage.
J'ai donc fais un exercice et j'aurai aimé savoir si ma réponse est juste

Enoncé de l'exercice:
Soit E = (e_1,e_2,e_3), la base canonique de R^3, et h l'application linéaire de R^3 dans R^3 dont la matrice dans la base canonique E est:

4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&3&-2&2\\2&2&-1&4\\3&1&-1&4}\)

On pose F = (u_1,u_2,u3)u_1, u_2 et u_3 sont des vecteurs de R^3 dont les coordonnées dans la base canonique sont :
u_1= (1,1,0)
u_2= (-2,0,1)
u_3= (0,1,1)

a) Montrer que F est une base de R^3
J'ai montrer que c'était une famille libre maximale, donc une base

b) Ecrire la matrice de h dans la base F. On désigne pas B cette matrice
On a:
h(u_1) = u_1
h(u_2) = 2u_2
h(u_3) = 3u_3
donc
4$B=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&1&0&0\\2&0&2&0\\3&0&0&3}\)

c) Soit n>1 un nombre entier. Calculer B^n
Puisque c'est une matrice diagonale, on a:
4$B^n=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&1&0&0\\2&0&2^n&0\\3&0&0&3^n}\)

d) Calculer les vecteurs h^n(e_1),h^n(e_2),h^n(e_3), ainsi que la matrice A^n

Je sèche complètement, je ne sais pas si je dois multiplie la matrice B^n par les différents vecteurs, ou si je dois passer par des matrices de passage...

Merci de votre aide

PS: c'est mon premier post,j'espère que c'est lisible et que le latex n'est pas trop moche^^

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 14:19

Bonjour et bien venue sur l'

D'après les calculs déjà faits (que je n'ai pas vérifiés, tu sais que h^n(u_1)=u_1, h^n(u^2)=2^nu_2 et h^n(u_3)=3^nu_3. Comme on te donne les vecteurs u en fonction de la base canonique, le plus simple c'est d'exprimer les e_i en fonction des u_i, (ça revient à calculer la matrice de passage) puis d'écrire ce que l'on te demande.

Posté par
raymond Correcteur
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 14:20

Bonjour.

Bienvenue sur l'île. Ton LaTeX est très réussi.

Exprime les ei sur la base (F). Ensuite, calcule hn(ei) en utilisant les hn(uj)

Autre méthode : appelle P la matrice de passage de (ei) à (ui) et écris que :

B = P-1.A.P

Posté par
raymond Correcteur
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 14:20

Bonjour Camélia.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 14:35

Bonjour Raymond

Posté par
emixam
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 14:59

lorsqu'on a une matrice de passage on a bien ce genre de chose:

4$P_e_i,u_i=\(\array{3,c.cccBCCC$&u_1&u_2&u_3\\\hdash~1&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\2&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\3&a_{31}&a_{32}&a_{33}}\)


Avec a la place des 1,2 et 3 sur le côté, les (e_i)?

Et, est-ce que je peux dire que:
P^-1 (e_i)(u_i) = P (u_i)(e_i)

Merci à vous de vos réponses

Posté par
emixam
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 16:18

J'ai fais ta méthode Camélia, en mettant que:
h^n(e_1) = h^n(u_3 -u_2 - u_1) = h^n(u_3) - h^n(u_2)-h^n(u_1)=3^n*u_3-2^n*u_2-u_1
et ainsi de suite,

et je suis passé par les matrices de passage comme m'a expliqué Raymond et j'obtiens à l'arrivée la même matrice A^n


Merci à vous deux pour les 2 méthodes

Posté par
raymond Correcteur
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 16:22

Bonne soirée.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exemple d'exercice et matrice de passage 01-06-09 à 16:33

Au moins tu trouves la même chose! Bonne soirée aussi!



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