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Niveau Maths sup
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Exercice avec des valeurs absolues

Posté par
Eraser 17-09-16 à 18:35

Énoncé :

x désigne un nombre réel

1) Montrer : pour que \mid x² +2x -3\mid < 3, il suffit que \mid (x-1)\mid < 1/5

Ma solution

J'ai vraiment du mal à résoudre cette inéquation, je ne sais pas comment faire
Utiliser la formule |X| < a <=> -a < X < a ? Résoudre le polynôme


2)  Montrer : pour que \mid x² +2x -3\mid < 3, il suffit que x < 2

Ma solution

Même problème que pour la question 1


3) Donner une condition nécessaire et suffisante sur x pour que  \mid x² +2x -3\mid < 3

Ma solution

Donc là je suppose qu'il faut ressortir une nouvelle condition à la manière des deux questions précédentes, mais comment procéder?  

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
luzakre : Exercice avec des valeurs absolues 17-09-16 à 18:58

Bonsoir !
Pour la 3) ton idée d'écrire -3<x^2+2x-3<3 est bonne. Tu te ramènes à l'étude deux inéquations et tu prends l'intersection des ensembles solutions.

Pour 1) et 2) puisqu'on demande des conditions suffisantes tu te contentes de vérifier en étudiant (par exemple) les variations du polynôme et son opposé sur les intervalles proposés :  x\in]1-\dfrac15,1+\dfrac15[ dans le cas 1), x\in]-\infty,2[ dans le cas 2).

Posté par
Eraserre : Exercice avec des valeurs absolues 17-09-16 à 22:52

Bonsoir merci pour votre réponse
J'ai essayé de faire ça pour la 1) donc, on a :
\mid x² +2x -3\mid < 3

ça nous donne   x² +2x -3 < 3 (inéquation 1) ou   -x² -2x +3 < 3 (inéquation 2)

inéquation 1 :

x² +2x -6 < 0 \\ Delta = 28 > 0 \\ x1 = \frac {-2 + \sqrt{28}}{2}   ou     x2 = \frac {-2 - \sqrt{28}}{2}

inéquation 2 :
-x² -2x < 0 \\ <=> x(-x-2) < 0 \\ x<0     ou       x>-2 \\
Et j'obtiens des résultats pas très cohérent
De plus je pense que je ne dois pas faire le polynôme mais plutôt résoudre un système entre les deux inéquations peut être?

Merci d'avance pour votre aide

Posté par Profil amethystere : Exercice avec des valeurs absolues 18-09-16 à 11:26

bjr

applique le signe du trinôme

pour la premiere la concavité est positive

pour la deuxieme la concavité est negative

Posté par
malou Webmasterre : Exercice avec des valeurs absolues 18-09-16 à 11:33

bonjour
pour la 1, tu a cherché les racines mais tu as oublié de résoudre l'inégalité
pour la 2, tu as mal rangé -2 et 0 .....(j'ai l'impression...)

Posté par
Eraserre : Exercice avec des valeurs absolues 18-09-16 à 12:22

amethyste @ 18-09-2016 à 11:26

bjr

applique le signe du trinôme

pour la premiere la concavité est positive

pour la deuxieme la concavité est negative


Bonjour comment appliquer le signe du trinôme?
Je n'ai pas encore vu la concavité :/

malou @ 18-09-2016 à 11:33

bonjour
pour la 1, tu a cherché les racines mais tu as oublié de résoudre l'inégalité
pour la 2, tu as mal rangé -2 et 0 .....(j'ai l'impression...)


Pour la 1, oui j'ai les racines mais je les remplace dans l'inéquation je trouve quelque chose comme 25,...

Posté par
malou Webmasterre : Exercice avec des valeurs absolues 18-09-16 à 12:30

pour la 1 tu as du te tromper qd tu as vérifié (car elles sont justes)
bon, en plus, tu pourrais qd même les simplifier ces deux là...

Posté par Profil amethystere : Exercice avec des valeurs absolues 18-09-16 à 13:10

Citation :
comment appliquer le signe du trinôme?
Je n'ai pas encore vu la concavité


soit f(x)=a^2+bx+c une fonction du second degré

le signe de la concavité de la fonction est aussi le signe du coefficient dominant du polynôme (le coefficient "a") et est aussi le signe de la fonction aux infinis

lorsque la concavité est positive alors la fonction atteins une valeur minimale en x=-b/2a
lorsque la concavité est négative alors la fonction atteins une valeur maximale en x=-b/2a

et selon l'équation ax^2+bx+c=0 avec un discriminant D supérieur à zero

et en posant ses deux racines
  x1=(-b/2a)+(racine(D)/2a)
x2=(-b/2a)-(racine(D)/2a)

alors si la concavité est positive on obtiendra f(x) <0 dans l'intervalle ]x2;x1[

et si la concavité est negative on obtiendra f(x) > 0 dans l'intervalle ]x1;x2[

Posté par
carpediemre : Exercice avec des valeurs absolues 18-09-16 à 14:00

salut


x^2 + 2x - 3 = (x - 1)^2 + 4x - 4 = (x - 1)^2 + 4(x - 1)

donc

|x - 1| <1/5 => |x^2 + 2x - 3| < |x - 1|^2 + 4|x - 1| < 1/25 + 4/5 < 21/25 < 1 < 3

inégalité triangulaire ...



2/ est faux : il suffit de prendre x = -100

(et le trinome tend vers +oo à l'infini donc n'est surement pas majoré donc encore moins par 3 ... sur un intervalle non borné)



3/ il est nécessaire de résoudre la (double) inéquation -3 < x^2 + 2x - 3 < 3 puisqu'on veut une équivalence


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