Bonjour,
J'ai un exercice type bac à faire pour demain, j'en ai faitune partie mais je rencontre quelques difficultés.

EXERCICE 4

PARTIE A

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle [1 ; 50] par
f(x) = x²+72ln(10x+1) et g(x)= f(x) / x

1. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [1;50]
Là j'ai dit que x² est croissant
et que 72ln(x+1) = est également croissant
donc la fonction f est croissante sur l'intervalle [1 ; 50]

2. La fnction h est définie sur l'intervalle [1 ; 50] par
h(x) = x² + 720x/10x+1 - 72ln(10x+1)

a) On admet que la dérivée de la fonction h est la fonction h' dfinie pour tot x élément de l'intervalle [1 ; 50] par
h'(x) = 2x(10x-59)(10x+61) / (10x+1)²
Résoudre l'équation h'x = 0 sur l'intervalle [1  ; 50]
Etudier le signe de h'(x) sur l'intervalle [1; 50]

h'(x) = 0 pour x=5,9 ou x=-6,1
(10x+1)² =
(10x+1)(10x-1) est différent de 0
10x+1 est différent de 0
x différent de -1 / 10

Donc h'(x) = 0 pour x = 59/10 donc 5,9

Etude du signe de h'(x)
(10x+1)² superieur à 0
h'(x) du sige du numérateur
2x est superieur à 0
x superieur à -6,1
x superieur à 5,9

donc sur [1; 5,9[ h'(x) et negative
et sur ]5,9 ; 50[ h'(x) est positive

b) j'ai dressé mon tableau de variation

c) On admet que dans l'intervalle 1 ; 50] l'equation h(x)=0 admet une unique solution alpha. A l'aide de la calculatrice donner une valeur approchée à 10^-2 de alpha

J'ai trouvé pour alpha 17,32 mais je ne suis pas sur

d) Expliquer pourquoi
- Pour tout x element de l'intervalle [1 ; alpha] h(x) inferieur ou égal à 0
- Pour tout x element de l'intervalle [alpha : 50] h(x) est superieur ou égal à 0

- [1 ; alpha] h(x) inferieur ou égal à 0
h(x) est strictement décroissante sur [1 ; 5.9] donc h(x) est negatif

-[alpha : 50] h(x) est superieur ou égal à 0

h(x) est croissante sur [5,9; 50] donc h(x) est positive [alpha ; 50]

?? Je ne suis pas sure de ma justification.

3) a) Démontrer que pour tout x élément de l'intervalle [1 ; 50]
g'(x) = h(x) / x²

On sait que g(x) = h(x) / x
g(x) = x² + 72ln(10x+1) / x
Ensuite je suppose que je dois faire la dérivée de g'(x) et que je retombe sur le bon résultat mais j'ai du mal à la faire.

J'ai essayé en faisant u=x² + 72ln(10x+1) et u' = 2x+72(10/10x+1) et v=x donc v' = 1 mais je ne tombe pas sur le bon résultat ensuite

b) Démontrer que la fonction g admet unminimum pour x=alpha
La j'ai dit que g'(x) est du signe de h(x) donc également de celui de h'(x)
comme g'(x) est neg sur [1 ; alpha] et positive sur [alpha ; 50] alors elle admet bien un minimum en alpha

c) En utilisant le fait que g(x) = f(x) / x exprimer g'(x) en fonction de f'(x) puis déduire de la question précédente que g(alpha) = f'(alpha)

Là j'en ai aucune idée

Merci pour votre aide