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Exercice fonction définie par une intégrale

Posté par
TangoR 24-06-16 à 15:58

Bonjour à tous,

Voilà je doute sur une réponse à un exercice sur une fonction définie par une intégrale.
En voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=\int_{0}^{x}{\frac{-1}{\sqrt{t^2+1}}}dt

Déterminer la fonction dérivée f' de f. En déduire le sens de variation de f.

Voici ce que j'ai répondu :

f(x)=\int_{0}^{x}{\frac{-1}{\sqrt{t^2+1}}}dt=\int_{x}^{0}{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}dt

Les fonctions t\rightarrow \frac{-1}{\sqrt{t^2+1}} et t\rightarrow \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} sont continues sur [0,x] (resp. [x,0]) avec x \varepsilon R
Donc f est définie et dérivable sur R et f'(x)={\frac{-1}{\sqrt{t^2+1}}dt pour x\geq 0 et  f'(x)={\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}dt pour x\leq 0
Ainsi, comme \sqrt{x^2+1}\geq 0 :
f'(x)<0 sur [0;+[
f'(x)>0 sur ]-;0]
donc
f est décroissante sur [0;+[ et f est croissante sur ]-;0]

Est-ce juste ?

Merci d'avance.

Posté par
MstrHepTigre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 16:07

essaie de calculer l'intégrale avant de la dériver ... ce n'est pas normal d'avoir du t dans l'expression de f'(x)

Posté par
mdr_nonre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 16:18

bonjour : )

Citation :
Les fonctions t\rightarrow \frac{-1}{\sqrt{t^2+1}} et t\rightarrow \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} sont continues sur [0,x] (resp. [x,0]) avec x \varepsilon R
Lorsque tu écris [0 , x] tu dois spécifier x \geq 0 et remarque similaire pour [x , 0].

Mais en réalité tu n'as pas besoin de séparer ainsi, la fonction t \mapsto \frac{-1}{\sqrt{t^2 + 1} est continue sur \R par opérations sur de telles fonctions donc f est bien définie.
Mais sinon ta façon de faire convient.

Ensuite, ta dérivée c'est n'importe quoi.

Je te rappelle que si G est une primitive de g sur un intervalle I alors, pour a, b \in I nous avons \int_a^b g(t)\mathrm{d}t = G(b) - G(a).

Posté par
mdr_nonre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 16:19

Citation :
Mais en réalité tu n'as pas besoin de séparer ainsi, la fonction t \mapsto \frac{-1}{\sqrt{t^2 + 1}} est continue sur \R par opérations sur de telles fonctions donc f est bien définie.

Posté par
TangoRre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 17:42

Désolé, je me suis emballé sur les copier/coller. En effet ma dérivée n'a aucuns sens !!!
Je reprends :
t\rightarrow \frac{-1}{\sqrt{t^2+1}} est continue sur [0,x] avec x \varepsilon R

Donc f est définie et dérivable sur R et f'(x)={\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}

Posté par
TangoRre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 17:45

Comme \sqrt{x^2+1}\geq 0, alors f'(x)<0.
Ainsi, f est décroissante sur R.

Posté par
mdr_nonre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 18:12

Attention à nouveau.

Je reformule le problème que je t'ai cité :

Citation :
t\rightarrow \frac{-1}{\sqrt{t^2+1}} est continue sur [0,x] avec x \varepsilon R
J'ai souligné en rouge le problème.

Tu possèdes une définition (en réalité une caractérisation) bien précise des intervalles fermés (ici plus exactement un segment) de \R et c'est celle-ci :
Soient a, b \in \R tels que {\red a \leq b}.
\{x \in \R / a \leq x \leq b\} = [a , b].

Vois-tu la condition {\red a \leq b} ?

***

Donc si tu veux écrire que [0 , x] est un intervalle de \R, celui-ci l'est effectivement sous l'hypothèse que x \geq 0. Autrement, si x \leq 0, c'est [x , 0] qui est l'intervalle d'intégration et non ce [0 , x].

***

Une façon de rédiger aurait été celle-ci :

La fonction t \mapsto \frac{-1}{\sqrt{t^2 + 1}} étant continue sur \R, elle est intégrable entre 0 et x pour tout x \in \R. Ainsi f est bien définie sur \R et dérivable.

En écrivant "entre 0 et x pour tout x \in \R" on couvre les deux possibilités [0 , x] et [x , 0].

***

Bon sinon, ta dérivée puis les variations déterminées sont ok. Très bien.

Mais on pouvait également le lire directement sur l'intégrale (i.e. sans passer par la dérivée).

***

Posté par
TangoRre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 18:29

Ok, j'ai compris pour la condition a\leq b.
---
Puis-je rédiger ainsi ?

La fonction t\rightarrow \frac{-1}{\sqrt{t^2+1}} est continue sur [0,x] pour x\geq 0 et sur [x,0] pour x\leq 0.


Donc f est définie et dérivable sur R et f'(x)={\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}
Ainsi, comme \sqrt{x^2+1}\geq 0, f'(x)<0 sur R.
Donc f est décroissante sur R.
---
C'est-à-dire

Citation :
le lire directement sur l'intégrale
?
Je sais que si une fonction f est positive (resp. negative) alors son intégrale est positive (resp. negative) mais l'inverse ne fonctionne pas ?...

Posté par
mdr_nonre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 19:00

Oui tu peux rédiger ainsi.

*** *** ***

Oui on pouvait traiter l'exercice sans dérivée.
Mais il ne s'agit pas d'une question du signe de f attention ; mais plutôt du signe de l'intégrande, i.e. du signe de la fonction t \mapsto \frac{-1}{\sqrt{t^2 + 1}}.

Pour x \geq 0, f est l'intégrale d'une fonction négative sur [0 , x] et est donc décroissante.
Grossièrement, tu comprends bien que plus x est grand (l'intervalle [0 , x] est plus grand) et plus f(x) est petit (en valeur absolue f(x) est très grand mais comme f(x) est négatif on obtient des nombres de plus en plus petits).

La démonstration est plutôt naturelle, observe :
Soient x, y \in \R_+ tels que x \leq y.
D'après la relation de Chasles, f(y) - f(x) = \int_{x}^y \frac{-1}{\sqrt{t^2 + 1}}\mathrm{d}t \leq 0.
Ce qui montre que f est décroissante sur \R_+.

Et raisonnement totalement analogue lorsque x \leq 0.


Tu peux voir maintenant qu'on pouvait tout simplement écrire :
Soient x, y \in \R tels que x \leq y.
D'après la relation de Chasles, f(y) - f(x) = \int_{x}^y \frac{-1}{\sqrt{t^2 + 1}}\mathrm{d}t \leq 0.
Ce qui montre que f est décroissante sur \R.


Ok ?

Posté par
mdr_nonre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 19:18

Pour finir sur les remarques, f étant une fonction impaire, on aurait pu limiter l'étude à [0 , +\infty[.

Posté par
TangoRre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 20:08

Ok je vois mieux !

Merci beaucoup pour l'aide.

Posté par
mdr_nonre : Exercice fonction définie par une intégrale 24-06-16 à 21:47

De rien : ) Bonne continuation : )

Posté par
alb12re : Exercice fonction définie par une intégrale 25-06-16 à 09:09

salut,
ne pourrait-on pas simplement ecrire ? :
(verifier si ce th est dans le cours)

f est la primitive qui s'annule en 0 de la fonction continue sur R: t->-1/sqrt(1+t^2)
donc f'(x)=-1/sqrt(1+x^2)

Posté par
MstrHepTigre : Exercice fonction définie par une intégrale 29-06-16 à 12:03

si, mais le tout est de savoir si c'est au programme de terminale ...

Posté par
alb12re : Exercice fonction définie par une intégrale 29-06-16 à 12:24

pour une fonction continue positive c'est certain
c'est pourquoi je posais la question

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction définie par une intégrale 29-06-16 à 13:37

Bonjour alb12
texto dans le programme officiel :
Théorème : si f est une fonction continue et positive sur [ a, b ] , la fonction F
définie sur [ a, b ] par F ( x ) =\int_a^xf(t)\text{d}t est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f
rien de changé sous le soleil....

Posté par
alb12re : Exercice fonction définie par une intégrale 29-06-16 à 13:45

les hypothèses n'etaient pas aussi restrictives avant le dernier changement de programme
on prenait f continue sur un intervalle I et a un reel de cet intervalle


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