Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

Exercice - Matrices

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
29-04-07 à 11:53

Bonjour,

j'ai des difficultés à comprendre les concepts fondamentaux des matrices : l'utilisation d'applications linéaires, les liens avec noyaux, bases, images, ... Un seul remède : des exercices.

En voici un premier d'une longue série :

1. Expliquer brièvement pourquoi une matrice qui n'est pas carrée ne peut pas être inversible.

>> Une matrice A a pour inverse la matrice A' si et seulement si \Large AA'=A'A=I

Or la multiplication matricielle ne peut se faire que si le nombre de colonne de la première est égal au nombre de lignes de la deuxième. Il est donc nécessaire d'avoir une matrice carrée. Donc seules les matrices carrées sont inversibles.

2. Soit \Large{A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})}. On suppose qu'il existe une matrice \Large{B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})} telle que \Large AB=I_n. Démontrer que A est inversible

>> Alors ici il faut montrer : AB = BA.

Soit E, un espace vectoriel de dimension n sur \Large\mathbb{K}, muni d'une base \Large\scr{B}. Alors il existe f et g dans L(E) tels que :

\Large\{{A=Mat_{\scr{B}}(f)\\B=Mat_{\scr{B}}(g)}

Donc \Large I_n = Mat_{\scr{B}}(fog) = Mat_{\scr{B}}(I_E) donc \Large fog=I_E

Donc f est surjective et g est injective. D'après le théorème du rang, f et g sont bijectives, donc inversibles dans L(E) et \Large g=f^{-1}. Donc A et B sont inversibles dans \Large{\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})} et \Large B=A^{-1}

3. On considère la matrice :

\Large\rm A=\[{1 2 -3\\2 1 -2}\]

3.a. Démontrer l'existence d'une matrice B telle que le produit AB soit égal à la matrice identité.

3.b. Existe-t-il une matrice C telle que le produit CA soit égal à la matrice identité ?


Besoin d'un peu d'aide sur les deux dernières questions.

Merci.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:03

Salut puisea

Pour la 1) et la 2), c'est OK !
Pour la 3), si AB ou CA vaut l'identité, que dire dans les deux cas de l'application linéaire associée ?

Kaiser

Posté par
Rouliane
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:05

Bonjour,

Je m'incruste 2 secondes : comment on en déduit "Donc f est surjective et g est injective" dans la question 2.

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:07

Salut Kaiser, je réfléchis

Salut Rouliane,

L'identité est bijective. Or si la composée de deux applications est injective la deuxième application est injective. Et si la composée de deux applications est surjective, la première application est surjective.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:07

Rouliane > car fog=Id

en effet, cela montre que fog est injective donc g aussi et que fog est surjective donc f aussi.

Kaiser

Posté par
Rouliane
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:10

ah oui bien sur merci à vous 2 !

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:12

Pour répondre à Kaiser : et bien on peut en dire tout ce qui a été dit dans la réponse à la question 2, non ?

Posté par
raymond Correcteur
Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:15

Bonjour.

1°) A € M(n,p) n et p distincts signifie :
A représente une application linéaire f : Kp Kn.
Deux espaces vectoriels ne sont isomorphes que si leurs dimensions sont égales, donc A ne peut pas être inversible.

2°) AB = I, A et B carrées d'ordre n.
Si B n'était pas inversible, son noyau serait non réduit à {0}.
Il existerait donc un vecteur X non nul tel que BX = 0.
Alors ABX = X => 0 = X : faux.
Donc B est inversible : B-1 son inverse. AB = I => ABB-1 = B-1 => A = B-1.

3°) Je regarde une solution pas trop longue ...

A plus RR.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 12:31

puisea > oui, alors peut-on avoir CA=Id ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 13:00

Me re voila, j'étais parti manger

Bonjour raymond,

1° Ah oui, bien vu ! C'est plus direct.
2° Oui effectivement, je n'avais pas pensé au noyau.

Kaiser,

je ne vois pas où tu veux en venir... faut-il utiliser les valeurs de A ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 13:02

d'après ce que l'on a dit si CA=I que dire de l'application linéaire associée à A.

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 13:05

L'application linéaire associée à A est bijective.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 13:21

pas du tout !
seulement injective.

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 13:22

Ah mais oui bien sur !

Ce ne sont pas des matrices carrées !

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:18

Avec beaucoup de mal pour travailler sur la matrice car j'ai pas encore l'habitude, je trouve que l'application linéaire associée à A n'est pas injective mais qu'elle est surjective.

Donc B existe mais pas C, on est d'accord ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:29

Citation :
Avec beaucoup de mal pour travailler sur la matrice car j'ai pas encore l'habitude, je trouve que l'application linéaire associée à A n'est pas injective mais qu'elle est surjective.


en fait, ce n'est pas si compliqué.
Il suffit de remarquer que si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ, ce qui n'est pas le cas.

Citation :
Donc B existe mais pas C, on est d'accord ?


OK pour C mais pour B, on ne le sait pas encore. Il faudra le montrer.

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:40

Citation :
Il suffit de remarquer que si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ, ce qui n'est pas le cas.


Tu vois ca comment ?

Car moi je suis parti de :

\rm A=\[{1 2 -3\\2 1 -2\\1 0 0\\0 1 0\\0 0 1}\]

et je suis arrivé à :

\rm A=\[{3 0 0\\3 3 0\\1 2 1\\1 -1 4\\0 0 3}\]

par des opérations de pivot. On a donc (1,4,3) qui est un vecteur directeur du noyau, et {(1,0),(1,1)} une base de l'image.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:45

Citation :
si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ,


car l'image d'une base par une application linéaire injective est une famille libre donc le cardinal est alors inférieur à la dimension de l'image.

Citation :
ce qui n'est pas le cas


l'application va de \Large{\mathbb{R}^{3}} dans \Large{\mathbb{R}^{2}}

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:48

D'accord

Etant donné les calculs sur A et les résultats (base de l'image), est-ce suffisant pour dire que l'application associée est surjective ? Car la base obtenue est bien une base de R².

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:50

oui mais tu peux aussi remarquer que le rang de la matrice est de rang 2 en disant que les vecteurs lignes sont indépendants (ce qui est simple à vérifier).

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:52

Oui, il faut travailler au maximum sur les rangs si j'ai bien compris

Merci Kaiser, j'en attaque un autre.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice - Matrices 29-04-07 à 14:53

Mais je t'en prie !

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1221 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !