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Exercice - Matrices
Bonjour,
j'ai des difficultés à comprendre les concepts fondamentaux des matrices : l'utilisation d'applications linéaires, les liens avec noyaux, bases, images, ... Un seul remède : des exercices.
En voici un premier d'une longue série :
1. Expliquer brièvement pourquoi une matrice qui n'est pas carrée ne peut pas être inversible.
>> Une matrice A a pour inverse la matrice A' si et seulement si
Or la multiplication matricielle ne peut se faire que si le nombre de colonne de la première est égal au nombre de lignes de la deuxième. Il est donc nécessaire d'avoir une matrice carrée. Donc seules les matrices carrées sont inversibles.
2. Soit . On suppose qu'il existe une matrice
telle que
. Démontrer que A est inversible
>> Alors ici il faut montrer : AB = BA.
Soit E, un espace vectoriel de dimension n sur , muni d'une base
. Alors il existe f et g dans L(E) tels que :
Donc donc
Donc f est surjective et g est injective. D'après le théorème du rang, f et g sont bijectives, donc inversibles dans L(E) et . Donc A et B sont inversibles dans
et
3. On considère la matrice :
3.a. Démontrer l'existence d'une matrice B telle que le produit AB soit égal à la matrice identité.
3.b. Existe-t-il une matrice C telle que le produit CA soit égal à la matrice identité ?
Besoin d'un peu d'aide sur les deux dernières questions.
Merci.
Salut puisea
Pour la 1) et la 2), c'est OK !
Pour la 3), si AB ou CA vaut l'identité, que dire dans les deux cas de l'application linéaire associée ?
Kaiser
Bonjour,
Je m'incruste 2 secondes : comment on en déduit "Donc f est surjective et g est injective" dans la question 2.
Salut Kaiser, je réfléchis 
Salut Rouliane,
L'identité est bijective. Or si la composée de deux applications est injective la deuxième application est injective. Et si la composée de deux applications est surjective, la première application est surjective.
Rouliane > car fog=Id
en effet, cela montre que fog est injective donc g aussi et que fog est surjective donc f aussi.
Kaiser
Pour répondre à Kaiser : et bien on peut en dire tout ce qui a été dit dans la réponse à la question 2, non ?
Bonjour.
1°) A € M(n,p) n et p distincts signifie :
A représente une application linéaire f : Kp 
Kn.
Deux espaces vectoriels ne sont isomorphes que si leurs dimensions sont égales, donc A ne peut pas être inversible.
2°) AB = I, A et B carrées d'ordre n.
Si B n'était pas inversible, son noyau serait non réduit à {0}.
Il existerait donc un vecteur X non nul tel que BX = 0.
Alors ABX = X => 0 = X : faux.
Donc B est inversible : B-1 son inverse. AB = I => ABB-1 = B-1 => A = B-1.
3°) Je regarde une solution pas trop longue ...
A plus RR.
Me re voila, j'étais parti manger
Bonjour raymond,
1° Ah oui, bien vu ! C'est plus direct.
2° Oui effectivement, je n'avais pas pensé au noyau.
Kaiser,
je ne vois pas où tu veux en venir... faut-il utiliser les valeurs de A ?
Avec beaucoup de mal pour travailler sur la matrice car j'ai pas encore l'habitude, je trouve que l'application linéaire associée à A n'est pas injective mais qu'elle est surjective.
Donc B existe mais pas C, on est d'accord ?
Avec beaucoup de mal pour travailler sur la matrice car j'ai pas encore l'habitude, je trouve que l'application linéaire associée à A n'est pas injective mais qu'elle est surjective.
en fait, ce n'est pas si compliqué.
Il suffit de remarquer que si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ, ce qui n'est pas le cas.
Donc B existe mais pas C, on est d'accord ?
OK pour C mais pour B, on ne le sait pas encore. Il faudra le montrer.
Kaiser
Il suffit de remarquer que si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ, ce qui n'est pas le cas.
Tu vois ca comment ?
Car moi je suis parti de :
et je suis arrivé à :
par des opérations de pivot. On a donc (1,4,3) qui est un vecteur directeur du noyau, et {(1,0),(1,1)} une base de l'image.
si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ,
car l'image d'une base par une application linéaire injective est une famille libre donc le cardinal est alors inférieur à la dimension de l'image.
ce qui n'est pas le cas
l'application va de
Kaiser
D'accord
Etant donné les calculs sur A et les résultats (base de l'image), est-ce suffisant pour dire que l'application associée est surjective ? Car la base obtenue est bien une base de R².
oui mais tu peux aussi remarquer que le rang de la matrice est de rang 2 en disant que les vecteurs lignes sont indépendants (ce qui est simple à vérifier).
Kaiser
Oui, il faut travailler au maximum sur les rangs si j'ai bien compris
Merci Kaiser, j'en attaque un autre.
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