Pour cet exo, voilà mon idée:
X²-2XI=matrice nulle d'où X(x-2I)=matrice nulle mais cela n'aboutit pas vraiment...

Bonjour



Les valeurs propres sont 2 et 0 d'après ta factorisation.

bonjour

tu as déjà vu les valeurs propres et les polynômes annulateurs Alex ?

MM

JeanSeb : dans une certaines base, oui,... encore que tu oublies un cas... ce peut être 2 qui est vp d'ordre 2 et 0 vp d'ordre 1 (le polynôme minimal est scindé, la matrice est diagonalisable, mais le polynôme caractéristique est X(X-2)² ou bien X²(X-2) il me semble... si mes souvenirs sont bons)

cela dit, on demande toutes les matrices... et là tu ne donnes que les diagonales.

C'est une ... ou toutes ...

salut jeanseb

Bonjour à tous

Justement, Alain, on demande UNE matrice... résoudre le problème général est quand même plus compliqué!

*** en parlant du polynôme minimal, je voulais dire "n'a que des racines simples"... et non "scindé"...

Bonjour camélia...

ah oui ! défaut de matheux... je cherchais le cas général moi !

pardon JeanSeb, tu as raison, c'en est une et c'est tout ce qu'on demandait !!

Ceci étant dit, (coucou jeanseb ) a lui aussi utilisé ce qu'il sait du cas général! Moi, j'aurais répondu X=0 ou X=2I! En fait, il y a beaucoup de solutions parce que X n'est pas forcément diagonalisable...

Si c'est UNE ... la matrice nulle !!! non ?

bonjour Camélia

Décidément, elhor, nous telepathisons de plus en plus!

ben oui...

c'est pour ça que j'étais parti sur un truc plus général... je voyais pas l'intérêt de la question si on n'en cherchait qu'une...

cela dit, l'avantage de la matrice nulle, c'est qu'elle le reste dans toute base... de même pour la matrice 2I

en posant A la matrice de JeanSeb et B la diagonale 2-2-0, on a finalement comme solutions :

matrice nule ; 2I ; {P^-1AP ; P^-1BP ; P inversible}

c'est bien cela ? mes vieux restes sont bons ?

Alain

Ah, non! Il y a aussi les matrices de la forme avec

ou

ah mince, oui... oh lala c'est loin tout ça...
j'ai totalement zappé les triangulaires !

merci Camélia

25 ans sans faire d'algèbre linéaire de niveau spé... tout est rouillé !!!

Camélia ta première matrice ne semble pas vérifier _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonjour à tous! C'est un plaisir de vous retrouver!

A-t-on parlé de 2I, qui marche aussi très bien? Elle annule (X-2)donc X(X-2).

ni la seconde d'ailleurs

en fait Camélia je ne comprends pas :

ben oui, c'est vrai... en plus je l'avais dit plus haut... le polynôme minimal divise X(X-2), donc n'a que des racines simples, donc la matrice est diagonalisable...

donc mon post de 16:20 serait bon ?

cela me réconforte... merci Elhor !

La matrice est celle d'un projecteur si est son rang il existe inversible telle que

d'où la forme générale des solutions _{sauf erreur bien entendu}

Pour le post de 16h28:

la première matrice est annulée par (X-2)² et la deuxième par X²(X-2) qui sont minimaux.

Rebonjour

Oui, oui, mea culpa!

En fait j'ai vu le post de MatheuxMatou du 26, 16:11 et j'ai oublié le début de l'histoire! Polynôme minimal avec des racines simples entraine diagonalisable comme je le disais si bien ici Réduction des endomorphismes linéaires!

Les matrices que j'ai rajoutées à tort, sont celles qui ont les polynômes caractéristiques cités par Alain!

(bonsoir)
oui, certes Camélia, mais je parlais de polynôme caractéristique d'une matrice diagonalisable dans le même message...

Cela dit , ensuite, j'avais perdu aussi cette information de vue !!!

alain