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Exercice sur les matrices

Posté par
gainjp 09-05-09 à 01:01

Bonsoir à tous,

Dans le cadre de mes révisions je m'exerce sur des annales, mais il y a un exercice que je ne comprends pas.

L'exercice 3 de l'annales suivants : ** lien vers l'énoncé effacé **

Je sais montré que l'application est linéaire.

Mais je ne vois pas ce à quoi corresponds une matrice d'une application. :/

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum [lien]    

Posté par
infophilere : Exercice sur les matrices 09-05-09 à 01:21

Bonsoir ;

Il faudrait que tu recopies ton énoncé

T((x,y,z)) = (-y,y,x+y+z)

Il faut calculer les images par T des vecteurs de la base canonique de R^3, à savoir : e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) et e3=(0,0,1).

Ainsi T(e1) = (0,0,1) ; T(e2) = (-1,1,1) ; T(e3) = (0,0,1)

D'où la matrice A représentant T dans la base canonique :

3$ A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}

Posté par
gainjpre : Exercice sur les matrices 09-05-09 à 01:46

Merci bien.

On ne peut pas éditer nos messages sur ce forum ?
Car je voulais ajouter une capture d'écran de l'exo mais j'ai pas réussi :/

Posté par
gainjpre : Exercice sur les matrices 09-05-09 à 04:53

Donc écrire la matrice d'une application linéaire DANS la base canonique de R^3 c'est écrire la matrice d'une application linéaire DE la base canonique de R^3 ?

Posté par
infophilere : Exercice sur les matrices 09-05-09 à 12:07

Bonjour

Citation :
On ne peut pas éditer nos messages sur ce forum ?


Non.

Citation :
Donc écrire la matrice d'une application linéaire DANS la base canonique de R^3 c'est écrire la matrice d'une application linéaire DE la base canonique de R^3 ?


Euh en fait faut bien comprendre pourquoi une matrice représente une application linéaire.

On va supposer que c'est un endomorphisme pour simplifier (c'est-à-dire que f va de E dans E).

Soit B=(e_1,...,e_n) une base de E, un élément x de E va donc s'exprimer de manière unique par x=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n (on dit que les x_i sont les coordonnées).

Donc si tu veux calculer l'image de x par f tu obtiens par linéarité : f(x)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+...+x_nf(e_n)

Donc tu vois ici qu'il faut seulement déterminer les images des vecteurs de base : f(e_1),...,f(e_n).

Puisqu'ils sont dans E (n'oublie pas qu'on a pris f:E\to E) alors ils s'expriment également sur la base B.

\{f(e_1)=a_{11}e_1+a_{21}e_2+...+a_{n1}e_n\\f(e_2)=a_{12}e_1+a_{22}e_2+...+a_{n2}e_n\\\vdots \\f(e_n)=a_{1n}e_1+a_{2n}e_2+...+a_{nn}e_n

Si tu remplaces l'expression de ces f(e_i) et en regroupant correctement dans f(x) tu as donc cette vilaine bête :

f(x)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n)e_1+(a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n)e_2+...+(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n)e_n

Maintenant notons A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix} et X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}

Alors si tu fais le produit matriciel AX tu te rends compte que c'est exactement f(x) ! (1)

Donc rien que cette matrice te permet de déterminer complètement l'application linéaire f.

Et là miracle tu remarques que les colonnes de cette matrice c'est les f(e_i) en question (2)

Conclusion :

- Si tu as la matrice représentant f dans une base B donnée tu peux calculer l'image de n'importe quel vecteur x dans cette base en appliquant (1).

- Si tu as l'expression de f et que tu cherches la matrice A tu as juste à calculer les f(e_i) et ça te donne les colonnes (2).


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