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Niveau Licence Maths 1e ann
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exercice sur les suites numériques, convergence.

Posté par
mladele
14-02-09 à 01:06

bonjour,

j'ai un exercice à résoudre, et je voulais savoir si je me dirige dans les bonnes directions...

Soit E l'ensemble des suites numériques telles que lim_{n\rightarrow \infty} (u_{n+1}-u_n)=0

voici les question et mes idées de réponse.

a) : il faut montrer que E est un sous espace de l'espace vectoriel des suites numériques et que E contient l'espace des suite convergentes.

en ce qui concerne l'espace vectoriel des suites numériques, il faut vérifier que \lambda .u +v vérifie les lois de ce R-espace vectoriel.

E contient l'espace des suites convergentes : je pensais utiliser le fait que cette suite semble de Cauchy (le prouver) et dire que puisqu'on est dans R et que dans R toutes les suites de Cauchy convergent, alors ces suites convergent.

b) : on a une suite u\in Eon veut montrer que lim_{n\rightarrow \infty}\frac {u_n}{n} =0.
peut on dire que si u appartient à E elle converge ?
si elle converge, on a u_n \leq v_n . \varepsilon dans notre cas, v_n=n.
ce qui donne u_n/v_n\leq\varepsilon et on obtient ainsi la limite cherchée ?

c) on a v dans E croissante et telle que (v_{n+1}-v_n) soit dans l'espace O(1/{n+1}). On doit montrer que v \in O(ln(n+1))

j'ai pensé aux DL car 1/(n+1) est la dérivée première de ln(n+1).
suis-je dans la bonne direction ?

merci pour vos réponses, et pardon si ce message est un peu long.

cordialement.
M-L A

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 09:28

Bonjour,

a)

Citation :
E contient l'espace des suites convergentes : je pensais utiliser le fait que cette suite semble de Cauchy (le prouver) et dire que puisqu'on est dans R et que dans R toutes les suites de Cauchy convergent, alors ces suites convergent.

C'est une plaisanterie ?
Si (un) tend vers L, alors un-(n+1) tend vers L-L=0, terminé.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 09:33

b)

Citation :
peut on dire que si u appartient à E elle converge ?

Non, à moins que tu le démontres.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 09:39

b) est une conséquence immédiate du lemme de Cesaro

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 10:17

c) me semble tout aussi trivial

Il existe A tel que pour tout n, 3$v_{n+1}-v_n\le\frac{A}{n+1}

Donc
3$v_n-v_0\le A\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)\le A\Bigint_1^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=A\ln(n+1)

(vérifier les indices des bornes)

Nicolas

Posté par
mladele
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 21:53

bonsoir,

pour le a), effectivement je me sens un peu ridicule

pour le b), je n'ai pas encore vu le lemme de Cesaro.
je suis allée consulter la page du lien, mais je ne peux pas l'utiliser pour ma réponse.


pour le c)je pense avoir compris, mais ça ne me vient pas naturellement.

doit on forcément utiliser une intégrale dans ce type de question? ou peut on aussi utiliser les DL?

merci de votre réponse.

M-Laure

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 21:54

c) Peux-tu montrer comment tu utiliserais les DLs ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 21:56

b) Tu peux adapter la démonstration du lemme de Cesaro pour l'appliquer directement à l'exercice (sans utiliser le mot "Cesaro").

Posté par
mladele
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 22:14

en fait pour les DL je partirais du résultat (mais ça ne se fait pas).

si v \in O(ln(n+1)) on peut dire que v\le A.ln(n+1)
on fait le DL de ln(n+1) qui donne ...
non ça ne va pas.

donc pas les DL

non, je ne peux finalement pas montrer comment j'utiliserais les DL. j'y avais pensé comme ça mais sans essayer...
désolée. des fois j'ai l'impression qu'on peut tout faire avec les DL comme avec une baguette magique

pour le lemme de Césaro (dont je ne citerais pas le nom...).
en fait il faut que j'écrive que u_n=u_0+\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)

ensuite comme on cherche u_n/n on va faire 1/n.u_0+1/n\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)

c'est à dire :
1/n.u_0+1/n\sum_{k=0}^{n-1}u_{k+1}-1/n\sum_{k=0}^{n-1}u_k

c'est là qu'on retrouve les mêmes expressions que dans le lemme de (bip).
d'où convergence...

c'est bien ça?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 22:16

A partir de l'avant-dernière expression LaTeX, tu peux séparer la somme en deux, ... epsilon ... etc (cf. le lien)

Posté par
mladele
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 22:28

oui, je comprends le mécanisme, mais je ne suis pas certaine qu'à mon niveau je soit censée savoir faire ça (ou penser à ça).

en fait je suis à "cheval" sur plusieurs niveaux à cause du changement dans les licences de maths cette année... (je suis en télé-enseignement, et je passe un semestre par an.
et me vois avec 3 bout de semestre à la fois (S3, S3, et S5).
du coup j'ai du prendre des nouvelles matières de niveau inférieur au mien. et dans ce cours là, on n'a pas encore abordé les séries... (ce cours fait partie du S3).

mais bon, je vais peut être tenter quand même...
j'espère que le prof ne s'étonnera pas trop.

merci beaucoup.

M-Laure

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : exercice sur les suites numériques, convergence. 14-02-09 à 22:53

Je t'en prie.



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