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Exercice sur structure d'espace vectoriel

Posté par
firemario
19-03-13 à 23:31

bonjour, j'ai fait un exercice sur les espaces vectoriels mais je n'est pas tous compris :

Enonce :

    - On défini sur R2 la loi de composition interne usuelle

R2 x R2 --> R2

((x1,x2),(y1,y2)) --> (x1 + y1, x2 + y2)

et la loi de composition externe *

R x R2 --> R2

(,(x1,x2)) --> (x1,x2) = *(x1,x2)

(R2,+,*) est-il un espace vectoriel sur R ?

     - Même question en remplaçant * par . défini par :

R x R2 --> R2

(,(x1,x2)) --> (2x1,2x2) = .(x1,x2)

REMARQUE :
-------------

On définit sur R2 la loi de composition

R2 x R2 --> R2

((x1,x2),(y1,y2)) --> (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1)  = (x1,x2)(y1,y2)

Et la loi de composition externe *

R x R2 --> R2

(,(x1,x2)) --> (x1 - (1-),x2-(1-))=*(x1,x2)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

REPONSE :
-----------

V et V' sont des vecteurs de coordonnées (x1,x2) et (y1,y2)

+ (V+V')= x (x1+y1, x2+y2) = ((x1+y1),x2+y2) = (x1+x2,x2+y2)

*V+*V' = * (x1,x2) + *(y1,y2) = (x1,x2) + (y1+y2)

on a bien *(V+V') = *V + *V' = (x1+y1,x2+y2)

1) Quelle propriété utilise t-on pour en arriver là ?
2) d'où sort
3) pourquoi fait on cela ?

Soit ,R, V=(x1,x2)

(+)*V = ((+)x1,x2)

*V+*V = *(x1,x2)+*(x1,x2)
= (x1,x2) + (x1,x2)
= (x1 + x1, 2x2)

si x2 0 alors (+)*V *V+*V

5) Alors c'est un espace vectoriel ?

on utilise la propriete sur la loi externe : ,R,(+).V=.V+.V

,R, V=(x1,x2)R2
(+).V = (.).(x1,x2) = ((+)2x1,(+)2x2)

.V+.V = (2x1,2x2)+(2x1,x1)
=((2+2x1,(2+2)x2)

donc en général c'est différent
2+2(+)2 si 0

Donc par exemple pour ==1 et x10

(+).V.V+.V

6) Pourquoi utilise t-on ces propriétés et pas d'autre pour démontrer que c'est un espace vectoriel ?

Les questions que je me pose sont celles écrites en gras.

Je vous remercie d'avance !

Posté par
boninmi
re : Exercice sur structure d'espace vectoriel 20-03-13 à 11:53

C'est très confus. Ta "REPONSE" est la réponse à quelle question ? Montrer que R2 muni des lois usuelles est un espace vectoriel ? Alors cette réponse est fausse. Est-ce ta réponse ou un corrigé (mal recopié ?).

Posté par
firemario
re : Exercice sur structure d'espace vectoriel 20-03-13 à 13:18

Reponse c'est le corrigé du prof.

Les question 1, 2, 3 ... c'est les questions que je me pose ...

Posté par
boninmi
re : Exercice sur structure d'espace vectoriel 20-03-13 à 16:54

OK, je n'avais pas vu que la loi externe n'était pas la loi usuelle. Il reste une accumulation de coquilles dans la deuxième ligne de ta REPONSE: la loi externe notée successivement *, +, x , ça n'aide pas la compréhension, un x2 à la place d'un y1 qui fait peut-être que tu ne vois pas d'où sort l'égalité finale.

Citation :
1) Quelle propriété utilise t-on pour en arriver là ?

On utilise simplement la définition de la loi externe. Où est-ce que tu ne comprends pas ?

Citation :
2) d'où sort
3) pourquoi fait on cela ?

Pour démontrer que la loi externe respecte la définition d'un espace vectoriel, on doit montrer qu'elle est distributive par rapport à la loi interne (addition vectorielle). Pour cela, il faut choisir un réel et deux vecteurs quelconques. Qu'on appelle le réel k, ou n'a strictement aucune importance.

Citation :
5) Alors c'est un espace vectoriel ?

Non, puisque la distributivité à droite n'est pas vérifiée.

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