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Existence

Posté par
infomatrice 02-01-09 à 12:49

Bonjour, je n'arrive pas l'existence et l'unicité de u dans la relation :

n Un+3*Un = Un+2*Un+1 + k
Avec Uo = a, U1 = b, U2 = c

Posté par
dhaltere : Existence 02-01-09 à 13:04

Déjà, si a=0, tu vas avoir du mal à calculer U3

Posté par
dhaltere : Existence 02-01-09 à 13:06

si a != 0, et bc+k=0, alors U3=0, tu auras du mal à calculer U6

Tu es sur de ton énoncé ?

Posté par
infomatricere : Existence 02-01-09 à 15:05

a, b et c > 0

Posté par
infomatricere : Existence 02-01-09 à 15:05

a, b, c et k > 0

Posté par
dhaltere : Existence 02-01-09 à 15:11

Et voilà, tu ne nous dit pas tout...

Dans ce cas tu montres par récurrence que u_n>0,

alors u_{n+3}=\frac{u_{n+1}u_{n+2}+k}{u_n} est toujours défini, donc que u_n est calculé de manière unique (évidemment dépendant de a, b, c, k)

Posté par
infomatricere : Existence 02-01-09 à 15:14

Merci dhalte, et excuse moi d'avoir oublié les informations concernant les constantes.
Mais mon problème concerne justement la récurrence, je ne vois pas par quel bout commencer.

Posté par
dhaltere : Existence 02-01-09 à 15:32

Comme d'hab...

Vérifions que pour n=0,1,2, Un>0

Hypothèse :
Supposons que pour n fixé \ge2, u_{n-2}>0,\;u_{n-1}>0,\;u_n>0
alors l'expression \frac{u_{n-1}u_n+k}{u_{n-2} est définie (u_{n-2} > 0 donc \neq0) et est > 0, et elle vaut u_{n+1}

Donc nous avons aussi u_{n-1}>0,\;u_{n}>0,\;u_{n+1}>0, ce qui est l'étape suivante de l'hypothèse de récurrence.

Conclusion, ce n'est plus une hypothèse mais une propriété qui est prouvée : pour tout n\ge2, u_{n-2}>0,\;u_{n-1}>0,\;u_n>0

Conclusion : pour tout n\ge0, u_n>0


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