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exo complexe type bac

Posté par latitmiss (invité) 12-01-06 à 18:43

bonjour,
j'ai un exo sur les complexes...
où j'aurais besoin d'un petit coup de main
(il est à rendre pour le 18 janvier!)
en fait c'est le sujet qui a été donné à bordeaux en 1973

soit pour tout n appartenant aux entiers naturels (privés de zéro), Sn la somme:
Sn= sin (pi/n)+sin(2pi/n)+...+sin((n-1)pi/n).

posons z= cos (pi/n)+i sin (pi/n)

donner une expression simple de la somme:
1+z+...+z(exposant n-1).

calculer la partie réelle et la partie imaginaire de cette somme

en déduire l'inégalité:
Sn= 1/(tan(pi/2n))

quelle est la limite de la suite (Sn/n) n appartenant aux entiers naturels privés de zéro

Voilà, je vous remercie de bien vouloir m'aider...
... le plus vite possible, ce serait génial
(et désolée, si c'est mal écrit... mais avec un clavier, c'est pas facile!)

Posté par
samirre : exo complexe type bac 12-01-06 à 18:59

tu dois remarquer que z =e^{i\frac{\pi}{n}}
donc 1+z+...+z^{n-1}=\frac{1-z^n}{1-z}
=\frac{1-e^{i\pi}}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}}
alors continue
Samir

Posté par latitmiss (invité)re : exo complexe type bac 12-01-06 à 22:03

merci, je vais essayer comme ça.
par contre s'il y en a d'autres qui ont des idées pour le limites...
cce serait avec plaisir
merci!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exo complexe type bac 13-01-06 à 14:20

Quelle est l'inégalité que tu as trouvée juste avant ? Elle n'apparait pas dans ton message ?

Posté par latitmiss (invité)re : exo complexe type bac 13-01-06 à 19:15

je suis désolée, ce n'est pas "l'inégalité", mais "légalité" donc celle que j'ai donnée hier.
voilà, si quelqu'un veut bien m'aider pour cette égalité et pour la limite, ce serait très sympa!
merci beaucoup!

Posté par latitmiss (invité)re : exo complexe type bac 13-01-06 à 23:48

quelqu'un peut m'adier s'il vous plait?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exo complexe type bac 14-01-06 à 04:18

Tu as montré que :
S_n=\frac{1}{\tan\frac{\pi}{2n}}
Et tu cherches :
\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}
Il va falloir que tu révises ton cours sur les limites...
\frac{S_n}{n}=\frac{2}{\pi}\frac{\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}\cos\frac{\pi}{2n}
Or \frac{\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}\to 1 (car \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1)
et \cos\frac{\pi}{2n}\to 1
Donc :
\fbox{\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=\frac{2}{\pi}}

Posté par latitmiss (invité)re : exo complexe type bac 14-01-06 à 12:20

ok, je vais essayer.
merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exo complexe type bac 14-01-06 à 15:26

Je t'en prie.

Posté par -Sakura- (invité)re : exo complexe type bac 02-11-07 à 11:28

Bonjour !!!

Comme latitmiss avec bientôt un an d'écart, on m'a donné cet exercice à faire, mais je le trouve vraiment dur ! Les explications qui ont déjà été données m'ont permis d'arriver à la dernière question, mias je dois justifier que   lim (n->+infini) /2n / sin (/2n)=1                                                                                                
J'ai beau m'y prendre par tous les moyens, je trouve que cette limite est égale à 0 et je ne comprend pas l'explication par la limite en 0.

Merci beaucoup à tous ceux qui pourront m'aider

Posté par -Sakura- (invité)re : exo complexe type bac 02-11-07 à 16:25

S'il vous plait !!!!!!!!!!!
Quelqu'un saurait il m'expliquer


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