Inscription / Connexion Nouveau Sujet
exo (suite et récurrence)
l'énoncé :
Soit a et b 2 nbres réels vérifiant 0 < a < b
On définit les suites (Un) et (Vn) par :
U0=a et, pour tout n de N, Un+1 = (2UnVn)/(Un + Vn)
V0=b et, pour tout n de N, Vn-1 = (Un + Vn)/2
1) Vérifier que (Un) et (Vn) sont strictement positives.
2) On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
Démontrer que 0 < Wn+1 < 1/2 Wn et en déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que : pour tout entier naturel n, on a 0 < Wn < (b-a)/ 2^n
3) Démontrer que la suite (Un) est croissante et que (Vn) est décroissante.
voilà c'est le début de l'exo et j'ai beaucoup de mal, je vous remercie d'avance pour votre aide.
Bonjour
Tu es sur du - dans Vn-1 = (Un + Vn)/2 ?
1) Par récurrence avec l'hypothèse: Un et Vn sont positifs
la suite de l'exo :
4) Que peut-on en déduire pour les suites (Un) et (Vn) ?
5) A l'aide de l'étude de la suite (UnVn), déterminer la valeur de la limite commune des suites (Vn) et (Un).
Merci d'avance pour toute aide.
bonsoir
1) facile c'est une simple récurrence
2) Wn+1=Vn+1-Un+1
=(Un+Vn)/2 -2UnVn/(Un+Vn)
= [(Un+Vn)²-4UnVn]/2(Un+Vn)
=(Un²+Vn²+2UnVn-4UnVn)/2(Un+Vn)
=(Un²+Vn²-2UnVn)/2(Un+Vn)
=(Vn-Un)²/2(Un+Vn)
(Vn-Un)/(Un+Vn) <1 car
(Vn-Un)-(Un+Vn)=-2Un<0 car Un>0 d'après la question 1
donc (Vn-Un)/(Un+Vn) <1
si on multiplie des deux membres par (Vn-Un)/2 on obtient le résultat
mais il faut s'assurer avant que ce terme est positif cad Vn>=Un
ceci est bien connu la moyenne arithmétique Vn et supérieure à la moyenne harmonique Un
d'après le calcul précédent on a:
Vn-Un=(V(n-1)-U(n-1))²/2(U(n-1)+V(n-1)) >=0
donc en multipliant (Vn-Un)/(Un+Vn) <1
par (Vn-Un)/2
on obtient:
W(n+1) <=(Vn-Un)/2=Wn/2
je te laisse continuer
Oui merci bien de l'info mais je bataille surtout sur cette question :
pour tout entier naturel n, on a 0 < Wn < (b-a)/ 2^n
Je comprends pas comment on fait apparaitre le (b-a) et le 2^n. Merci.
Annuler
connectez vous