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exo sur les vecteurs de l'espace

Posté par
POU60
30-10-07 à 14:09

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je ne comprends pas une des questions. Voici l'énoncé :

Soit ABCDEF un prisme droit dont la base ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=AC=1.
On choisit le repère orthonormal( A ;\vec{AB},\vec{AC},\vec{k}) où \vec{k}=\frac{1}{AD}\vec{AD}.
Les points I,J,K sont respectivement situés sur les arêtes [AD], [BE] et [CF] et tels que \vec{AI}=\vec{k}; \vec{BJ}=2\vec{k}, \vec{CK} = 4\vec{k}.

1) Déterminer les coordonnéees des points I, J et K.

2) A tout point M de la droite (JK) on associe le réel tel que \vec{JM} = \vec{JK}. On pose f()= ||IM²||
  a) Exprimer f() en fonction de .
  b) En déduire que la fonction f admet un minimum m que l'on précisera.
  c) En déduire la distance du point I à la droite (JK).

3) Calculer l'aire du triangle IJK.

Mes reponses:

1) J'ai trouvé I(0;0;1)     J(1;0;2)     K(1;1;4)

Pour la 2) je reste bloqué je ne comprend pas ce qu'il faut exprimer

Merci de votre aide,
pou60,

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 16:06

pouvez-vous m'aider?
Je suis vraiment bloqué et je pense que c'est juste la 2)a) qui me gene

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 18:38

Bonjour,

Correction pour les coordonnées de K ; pour ma part je trouve K : (0 ; 1 ; 4)

M est un point quelconque de la droite (JK)
Donc le vecteur \vec{JM} est colinéaire au vecteur \vec{JK} et on peut toujours écrire \vec{JM}\,=\,\alpha\,\vec{JK} avec

A chaque valeur de est associé un point M ; il s'agit de calculer IM2 le carré de la distance du point I au point M ; c'est une fonction de que l'énoncé note f()

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 19:35

Merci mais je ne vois vraiment pas comment calculer IM². Pour moi M(1;;) mais je sais que c'est pas ca.
Et je trouve IM²= -1+

mais je sais que c'est pas ca
Merci de m'éclaircir car je ne vois vraiment pas

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 19:47

Tu as les coordonnées de I et de J ; tu peux en déduire celles du vecteur \vec{IJ}

Tu as les coordonnées de J et de K ; tu peux en déduire les coordonnées du vecteur \vec{JM}\,=\,\alpha \,\vec{JK}

Il est facile alors de calculer les coordonnées du vecteur \vec{IM}\,=\,\vec{IJ}\,+\,\vec{JM}

Quand tu auras les coordonnées de \vec{IM} il sera simple de calculer ||\vec{IM}||^2

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:00

ok merci.
donc IJ(1;0;1)
     JK(-; ; 2)

donc IM = (1-; ; 2-1)
  et ||IM||² = 6² - 4 + 2

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:09

\vec{IM} : (1- ; ; 1 + 2)

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:13

exacte donc c'est IM² = 6²+2+2

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:18



Je pense que la suite est facile pour toi...

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:32

peut-etre lol

Pour la 2)b):
on a le minimum qui se trouve en -b/2a = 4/12

donc f() = 20/6

le minimum m = 20/6

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:33

f() = f(4/12) = 20/6 pour détailler un peut plus

merci de ton aide

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:39

par contre je ne vois pas comment faire pour la c)
Merci de ton aide,

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 20:53



-b / 2a = ... ?

J'aide plusieurs personnes en même temps et ne peux être là toutes les minutes

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 30-10-07 à 21:17

On connait le tableau de variation d'une fonction de second degré grace on signe de a qui est la a = 6>0 donc les variations sont décroissante puis croissante avec un minimum atteint en = -b/2a = 4/12.
Ensuite on fait f(4/12) = 20/6 donc f admet un minimum m égale à 20/6.

Est-ce exacte ?

par contre je ne vois pas comment faire pour la c)
Merci de ton aide,

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 08:13

b = 2
a = 6

-b / 2a n'est pas égal à 4/12 (mon message de 20 h 53)

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 11:39

oui excuse moi.
-b/2a = -2/12 = -1/6

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 11:48

donc m = 11/6

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 11:53

par contre je ne vois pas comment faire pour la c)
Merci de ton aide,

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 12:52

IM2 est le carré de la distance d'un point M quelconque de la droite (JK) au point I

Le minimum du carré de cette distance est 11/6

Que vaut la distance de I à la droite (JK) ?

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 13:32

la distance de I à la droite (JK) vaut \sqrt{\frac{11}{6}}

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 13:34

on a JK = \sqrt{6} donc l'aire du triangle IJK = \frac{\sqrt{11}}{2}.
Est-ce exacte?

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 13:40



Oui, c'est exact

Posté par
POU60
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 13:45

Je te remercie de m'avoir aidé et bonne après-midi.

Posté par
Coll Moderateur
re : exo sur les vecteurs de l'espace 31-10-07 à 13:46

Je t'en prie. Bon après-midi pour toi aussi.
A une prochaine fois !



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