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Niveau Licence Maths 1e ann
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Exponentielle et forme polaire.

Posté par
rouikoko
02-04-09 à 23:40

Bonjour à tous,
j'ai beau avoir passé mon bac et pas mal bosser sur les complexes je m'entends toujours très mal avec eux ... J'ai donc une question à ce sujet...
En fait j'ai un nombre comple de la fome Z=1/(1-ib) et et Y=(ib)/(1-ib) où b est réel.
Je dois mettre ces deux nombre sous forme polaire pour calculer une amplitude et un déphasage...enfin bref ...
J'aimerais avoir Z = ||Z||exp(iC)
                 Y = ||Y||exp(iD).
Et je suis totalement coincé...

Merci d'avance de votre aide à tous j'en ai bien le besoin ...

Posté par
apaugam
re : Exponentielle et forme polaire. 03-04-09 à 02:06

Tu commence par le module
|Z|=1/|1-ib|=1/\sqrt {1+b^2}
Ensuite z/|z|, nombre complexe de module 1, s'ecrit cos\theta+isin\theta
ce qui te permet de trouver \theta

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Exponentielle et forme polaire. 03-04-09 à 09:30

Bonjour,

plus concrètement, après avoir déterminé |Z| (ou même avant), multiplie Z haut et bas par le conjugué (1+ib) du dénominateur, il vient:

Z = 1/(1+b²) + ib/(1+b²).

On a alors theta est différent de pi/2 modulo pi (sinon Z serait imaginaire pur et sa partie réelle serait nulle, ce qui n'est pas le cas), plus précisément theta peut être choisi entre -pi/2 et pi/2 (exclus) car Re(Z) > 0.

Alors: tan(theta) = [|Z|sin(theta)] / [|Z|cos(theta)] = Im(theta)/Re(theta) = [b/(1+b²)]/(1/(1+b²)) = b , donc on peut choisir theta = Arctan (b).

Finalement, Z = |Z|exp(i.theta) = [1/rac(1+b²)]exp(i.Arctan(b)).

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Exponentielle et forme polaire. 03-04-09 à 09:32

Puis, Y = i.Z = exp(i.pi/2).Z = ...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Exponentielle et forme polaire. 03-04-09 à 09:34

Pardon, en fait Y = b.i.Z = b.exp(i.pi/2).Z = ...

en fait ça dépend du signe de b: si b > 0, seul le module sera multiplie par b.

Si b < 0, le module sera multiplié par |b|, et comme -1 = exp(i.pi), il faudra aussi ajouter (ou soustraire) pi à l'argument.

Posté par
rouikoko
re : Exponentielle et forme polaire. 04-04-09 à 23:15

oh oui oui bien sur .... Merci beaucoup donc en fait dans le cas de Y je ne sais pas déterminer le signe de b parce qu'il varie :
si b > 0 alors jai |Y|=b|T| et thetaY=theta+pi/2
si b<0 alors jai |Y|=|b||T| et thetaY=theta+3pi/2

C'est bien cela ?

Merci d'avance de ton aide et merci beaucoup de l'aide passée!!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Exponentielle et forme polaire. 04-04-09 à 23:37

Avec plaisir!

Si T désigne Z, alors oui c'est cela! Et tu peux donc remplacer theta+3pi/2 par theta - pi/2 dans le dernier cas.

Posté par
rouikoko
re : Exponentielle et forme polaire. 06-04-09 à 00:18

oui oui bien sur T désigne Z, petite erreur j'ai changé les notations dans mon problème c'est pour ça
Merci beaucoup encore pour ton aide!!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Exponentielle et forme polaire. 06-04-09 à 00:24

Mais je t'en prie!



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