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Niveau terminale
exponentielle exo 2
Posté par 
etudiantilois
etudiantiloisBonsoir,
J'ai deux exercices à faire sur les nombres premiers. J'ai quelques problèmes avec... Voici ce que j'ai fait :
Exercice 1 :
******
Exercice 2 :
1. Deux entiers premiers peuvent-ils être de parités différentes ? Justifier.
Même en nommant un nombre pair 2k et un nombre impair 2k+1, je ne sais pas comment répondre...
2. Pour tout entier naturel n différent de 0, démontrer que 30n+7 ne peut pas être la somme de deux nombres entiers naturels premiers.
Je suis sûr qu'il faut faire un raisonnement par l'absurde car c'est ce que nous apprenons en ce moment, mais je ne vois pas comment le faire...
Merci d'avance pour votre aide.
Bonne soirée.
*** message dupliqué ***
Bonsoir,
Tout nombre pair supérieur égal à 2 est divisible par 2. Par conséquent quel que soit le nombre p premier, tel que p est strictement supérieur à 2, p sera impair, c'est à dire qu'il s'écrira sous la forme :
Bonsoir,
Merci pour vos réponses. Seul 2 est un nombre premier pair, les autres nombres premeirs sont impairs, mais comment justifier ?
Et pour la deuxième question je ne sais pas comment répondre...
Merci beaucoup pour votre aide.
Citation :
Seul 2 est un nombre premier pair, les autres nombres premeirs sont impairs, mais comment justifier ?
Lis le message précédent, c'est écrit en toutes lettres par Teusner.
Seul 2 est un nombre premier pair, les autres nombres premeirs sont impairs, mais comment justifier ?
Pour la 2 :
Montre que ce n'est pas possible qu'il soit la somme de deux premiers impairs, puis montre que ce n'est pas possible non plus qu'il soit la somme de 2 et d'un entier premier impair.
Bonsoir Yzz,
Merci pour votre réponse.
Mais pourquoi peut-on affirmer directement que
Citation :
Par conséquent quel que soit le nombre p premier, tel que p est strictement supérieur à 2, p sera impair, c'est à dire qu'il s'écrira sous la forme :.... ?
Par conséquent quel que soit le nombre p premier, tel que p est strictement supérieur à 2, p sera impair, c'est à dire qu'il s'écrira sous la forme :.... ?
Pour la 2 vous me conseillez donc un raisonnement par l'absurde ? Car ma professeur nous a imposés de faire avec un raisonnement par l'absurde...
Merci beaucoup pour votre aide.
1 : raisonnement par l'absurde donc :
Soit p un entier premier supérieur à 2.
Supposons qu'il soit pair : alors il s'écrit sous la forme p = 2k avec k
1.
Il est donc le produit de deux entiers différents de 1 : contradiction avec le fait qu'il soit premier.
Donc p est impair.
2 : raisonnement par l'absurde itou :
Posons p = 30n+7.
On a donc p = 30n+6+1 = 2(15n+3) + 1 de la forme 2k+1 : donc p est impair.
Supposons que p soit la somme de deux nombres premiers a et b.
1er cas : a et b sont impairs.
Alors a+b est pair et donc p est pair : contradiction.
2ème cas : a ou b est pair, et donc égal à 2.
Essaie de finir le raisonnement...
Bonsoir,
J'ai donc essayé de finir le raisonnement !
2ème cas : a ou b est pair, et donc égal à 2.
Alors a+b = 2+2k+1=2k+3.
Mais je ne sais pas comment montrer qu'il y a contradiction...
Merci d'avance pour votre réponse.
Posons p = 30n+7.
On a donc p = 30n+6+1 = 2(15n+3) + 1 de la forme 2k+1 : donc p est impair.
Supposons que p soit la somme de deux nombres premiers a et b.
1er cas : a et b sont impairs.
Alors a+b est pair et donc p est pair : contradiction.
2ème cas : a ou b est pair, et donc égal à 2.
Supposons que c'est a.
Comme p = a+b , alors b = p - a = 30n+7 - 2 = 30n+5.
Tu peux finir ?
Donc 30n+5=5(6n+1).
Donc il est divisble par 5. Donc b n'est pas un nombre premier. Contradiction.
C'est exact ? La démonstration est-elle terminée ?
Merci.