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Exponentielle ( réel * matrice carrée )
Bonjour à tous et bel été
M est une matrice carrée
I est la matrice carrée identité
La norme d'usage est la norme euclidienne
s est un réel au voisinage de 0
Je dois prouver que
J'ai écrit :
Mais comment prouve-t-on que est borné ?
Merci beaucoup.
Bonjour charmuzelle
Il suffit de majorer la norme de cette somme en utilisant l'inégalité triangulaire est de remarquer que pour tout k supérieur à 2, .
Par contre, je te conseille l'usage d'une autre norme que la norme euclidienne pour la suite de la majoration (prendre une norme sous-multiplicative) : le caractère borné ne dépend pas de la norme vu qu'on est en dimension finie.
Kaiser
Après quelques doutes, il me semble que la norme euclidienne est effectivement sous-multiplicative.
Kaiser
Bonjour
En dimension finie, toutes les normes sont sous-multiplicatives à constante près, donc au pire on introduit une constante de plus. Comme la série est de rayon infini, ça ne change rien!
(Coucou kaiser 
)
Coucou Camélia
En dimension finie, toutes les normes sont sous-multiplicatives à constante près, donc au pire on introduit une constante de plus.
Je sais bien mais je suis anti-constante !
Kaiser
...en cette si chaude journée. Vous êtes bien courageux de venir sur le forum.
j'étais bien partie sur l'inégalité triangulaire et je voulais l'écrire... mais je n'ai pas trouvé comment écrire une norme ou une valeur absolue en Latex : disons que j'ai trouvé un code, mais il n'a pas fonctionné.
Par ailleurs, je n'ai pas l'habitude de manipuler les normes matricielles.
Si on majore comme Kaiser l'a dit, est-ce que ça donne bien une majoration par Dans ce cas peu importerait la norme choisie, cette expression est bien bornée pour M fixée et s au voisinage de 0.
Très bonne soirée à vous, je n'espérais pas une réponse aujourd'hui !
j'étais bien partie sur l'inégalité triangulaire et je voulais l'écrire... mais je n'ai pas trouvé comment écrire une norme ou une valeur absolue en Latex : disons que j'ai trouvé un code, mais il n'a pas fonctionné.
En utilisant la barre verticale |, ça marche très bien.
Si on majore comme Kaiser l'a dit, est-ce que ça donne bien une majoration par
oui, toutafé, on a effectivement cette majoration.
Bonne soirée à toi aussi.
Kaiser
Mais euh ... y'a pas de barre verticale sur mes claviers (???) Pourtant j'en ai 4 à la maison (des claviers AZERTY, pas des barres). Bon, je vais mettre ça, je verrai bien ce qu'en pensera mon correcteur... et passer à la question suivante.
Bizarre : je n'ai aucun souvenir d'avoir rencontré des exponentielles de matrice quand j'étais étudiante. Heureusement qu'il y a Wikipedia ! ... et ilemaths
Merci pour tout
Mais euh ... y'a pas de barre verticale sur mes claviers (???) Pourtant j'en ai 4 à la maison (des claviers AZERTY, pas des barres).
sur le clavier AZERTY, il y en a une sur la touche 6 (à utiliser avec alt gr), à moins que tu utilises un clavier de mac, auquel cas ...
Sur certains claviers, ce n'est pas vraiment une barre verticale mais plutôt 2 morceaux de traits verticaux (mais à l'écran, ça donne bien une barre verticale).
je n'ai aucun souvenir d'avoir rencontré des exponentielles de matrice quand j'étais étudiante.
A l'heure actuelle, c'est une notion que l'on voit en maths spé ou L2 de maths pour la fac.
Heureusement qu'il y a Wikipedia ! ... et ilemaths
Merci pour tout
Pour ma part, je t'en prie !
Kaiser
Mais ... en effet ! Pourquoi ne l'avais-je mamais vue, celle-là ?
qui est un réel positif fini.
Pô facile le Latex ! Merci encore !
Mais il n'y a pas réellement besoin de tout ça.
Le terme résiduel dont tu veux montrer qu'il est borné est tout simplement une série entière (ce qui est tout à fait défini dans un Banach), de rayon +infini, et donc bornée au voisinage de 0 en particulier.
Tu peux d'ailleurs le prouver à la main, puisqu'il y a convergence uniforme [car normale] sous tout compact (c'est à peu près clair avec les théorèmes de spé sur les séries entières et les Banachs)
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