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Niveau école ingénieur
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famille génératrice

Posté par
tac_15
17-04-09 à 19:53

Bonjour, je commence tout juste le cours d'algèbre linéaire et je suis bloqué face au problème suivant. Pouvez-vous me donner un petit coup de pouce ?

Soient E={(x,y,z,t) éléments de R tels que x+y-2z+t=0} et
F={(x,y,z,t) éléments de R tels que x=y et 2x-z+t=0}.

1. Montrer que E et F sont des sous-espaces vectoriels de R^4 (ça j'ai réussi) et en donner une famille génératrice.

Merci d'avance.

Posté par
Thallo
re : famille génératrice 17-04-09 à 21:21

Bonjour,

Essaie de montrer que (x,y,z,t)€F, ssi il est de la forme x.u+t.v
où u et v seront deux vecteurs ("fixes", indépendant de x,y,z et t donc !) à déterminer, alors ça prouvera que F=vect(u,v) et tu auras une famille génératrice (et ça prouve même au passage que c'est bien un espace vectoriel).

Essaie de faire de même pour E

Posté par
tac_15
re : famille génératrice 17-04-09 à 21:46

u=(2,0,0,0) et v=(0,0,0,1) ?
Non j'ai du mal. Je ne comprends pas bien comment on peut exprimer ceci simplement à l'aide de deux vecteurs. J'en aurais pris 4 moi.

Posté par
Drysss
re : famille génératrice 17-04-09 à 21:54

Je te fais E, essaye de faire pareil pour F.

X appartient à E ssi x+y-2z+t  (je fais comme si c'était un pivot)
ssi il existe a,b,c tel que  (x,y,z,t)=(a,b,c,-a-b+2c)

Les vecteurs sont donc (1,0,0,-1), (0,1,0,-1), (0,0,1,2).

Posté par
tac_15
re : famille génératrice 17-04-09 à 22:04

merci j'essaie et je te poste ce que je trouve.

Posté par
tac_15
re : famille génératrice 17-04-09 à 22:11

Y appartient à F ssi il existe a et b tels que (x,y,z,t)=(a,a,b,b-2a)

les vecteurs sont donc (0,0,1,1), (1,1,0,-2), (1,1,1,-1)

Posté par
tac_15
re : famille génératrice 17-04-09 à 22:12

mais je ne vois pas comment on peut écrire n'importe quel élément de E comme une combinaison linéaire des éléments de la famille génératrice.

Posté par
tac_15
re : famille génératrice 17-04-09 à 22:12

et pourquoi ne choisi t-on que 0 ou 1 comme valeur pour a, b et c...

Posté par
Thallo
re : famille génératrice 17-04-09 à 22:20

Pourquoi ton (x,y,z,t) qui a la fin ne dépend plus que de a et b(donc de 2 paramètres) tu en déduis 3 vecteurs ?
Seuls (0,0,1,1), (1,1,0,-2) suffisent pour engendrer F !
Donc oui, tu as bien donné une famille génératrice (puisque tu as mis ces deux-là), mais pourquoi y avoir ajouté leur somme ?


Et bien, on a (x,y,z,t)€E ssi il existe a,b,c tel que (x,y,z,t)=(a,b,c,-a-b+2c)
De cette dernière égalité, on en déduit que a=x, b=y, et c=z.
Donc (x,y,z,t)€E ssi (x,y,z,t)=x(1,0,0,-1)+y(0,1,0,-1)+z(0,0,1,2)

Posté par
tac_15
re : famille génératrice 17-04-09 à 22:41

ok ok. Merci beaucoup Thallo et Driss.

Posté par
apaugam
re : famille génératrice 18-04-09 à 04:03

plus direct :
(x,y,z,t)€E ssi (x,y,z,t)=(x,y,z,-x-y+2z)=x(1,0,0,-1)+y(0,1,0,-1)+z(0,0,1,2)
morale de l'histoire
une équation permet d'éliminer une lettre ici je choisis d'éliminer t
les vecteurs de E ne dépendent plus que de 3 paramètres que je "mets en facteurs" pour trouver les générateurs.
on pourrait aussi choisir d'éliminer y par exemple et dans ce cas on écrirait
(x,y,z,t)€E ssi (x,y,z,t)=(x,-x+2z-t,z,t)=x(1,-1,0,0)+z(0,2,1,0)+t(0,-1,0,1)

pour le deuxième exemple on peut éliminer deux lettres

Posté par
apaugam
re : famille génératrice 18-04-09 à 04:04

NB : il y a plein de famille génératrice possible, une infinité



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